独立な確率変数A、Bについて、その分散がそれぞれ1のとき、確率変数A-

質問

独立な確率変数A、Bについて、その分散がそれぞれ1のとき、確率変数A-Bの標準偏差はどうなるのでしょうか。

回答No.2

gotouikusa · ベストアンサー

ご補足ありがとうございます。
a,b:定数, X,Y:確率変数とします。
V[X]=E[X^2]-{E(X)}^2 はご存知ですね。
V[aX]=E[(aX)^2] ? { E(aX) }^2
= a^2 E[X^2]-a^2{E(X)}^2
=a^2*V(X)

X,Y:独立より
V(X-Y)=V[X+(-1)Y]
=V[X]+V[(-1)Y]
=V[X]+(-1)^2*V[Y]
=V[X]+V[Y]

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。

回答No.3

alice_44

A, B が連続値をとる分布か、離散値をとる分布かで、
計算式は表面上違ってきます。
ここでは、連続分布として扱いますが、
離散分布の場合は ∫ 記号が Σ 記号に変わるだけ
ですから、自分で翻訳してみて下さい。

A, B の確率密度関数を、それぞれ fA, fB とします。
A, B の分散が 1 というのは、
mA = ∫ x fA(x) dx, mB = ∫ y fB(y) dy と置くと
1 = ∫(x - mA)^2 fA(x) dx,
1 = ∫(y - mB)^2 fB(y) dy であることを言っています。

A, B が独立であるということは、
A, B の同時確率密度が積 fA(x)・fB(y) だということですから…

A-B の平均を m と置くと、
m = ∫∫(x - y) fA(x) fB(y) dx dy
　= ∫∫{ x fA(x) fB(y) - y fA(x) fB(y) } dx dy
　= { ∫∫ x fA(x) fB(y) dx dy } - { ∫∫ y fA(x) fB(y) dx dy }
　= { ∫ x fA(x) dx }{ ∫ fB(y) dy } - { ∫ fA(x) dx }{ ∫ y fB(y) dy }
　= mA・1 - 1・mB

A-N の分散 V は、
V = ∫∫{ (x - y) - (mA - mB) }^2 fA(x) fB(y) dx dy
　= ∫∫{ (x - mA) - (y - mB) }^2 fA(x) fB(y) dx dy
　= ∫∫{ (x - mA)^2 - 2(x - mA)(y - mB) + (y - mB)^2 } fA(x) fB(y) dx dy
　= { ∫∫(x - mA)^2 fA(x) fB(y) dx dy } - 2{ ∫∫(x - mA)(y - mB) fA(x) fB(y) dx dy } + {∫∫(y - mB)^2 fA(x) fB(y) dx dy }
　= { ∫(x - mA)^2 fA(x) dx }{ ∫ fB(y) dy } - 2{ この括弧内を W と置く } + { ∫ fA(x) dx }{ ∫(y - mB)^2 fB(y) dy }
　= 1・1 - 2W + 1・1

W = ∫∫(x - mA)(y - mB) fA(x) fB(y) dx dy
　= { ∫(x - mA) fA(x) dx }{ ∫(y - mB) fB(y) dy }
　= { ∫ x fA(x) dx - mA ∫ fA(x) dx }{ ∫ y fB(y) dy - mB ∫ fB(y) dy }
　= { mA - mA・1 }{ mB - mB・1 }
　= 0・0

以上より、求める標準偏差は、
√V = √2 です。

公式 E(A+B) = E(A) + E(B), E(cA) = c E(A), V(A+B) = V(A) + V(B), V(cA) = (c^2) V(A)
などを知っていると、上記の途中計算を大幅に short cut することができます。
参考：　http://staff.aist.go.jp/t.ihara/operation.html

お礼

ありがとうございます。参考になります。

回答No.1

gotouikusa

V(A)=V(B)=1
V(A-B)=V(A)+(-1)^2 *V(B)=2
(答え) √2

補足

すいませんが、なぜV(A-B)=V(A)+(-1)^2 *V(B)となるのかもう少し詳しく教えていただければ助かります。自分には理解できませんでした・・・。