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点の集合が長さ、面積、体積を持つ理由
boisewebの回答
- boiseweb
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質問者さんは「線分や平面図形,立体図形は点の集合」とあっさり書いていますが,実は,「集合」という考えが数学の世界で積極的に使われるようになったのは100年ほど前で,長い数学の歴史から見ればものすごく「新しい」考え方なのです. 一方,点や線や平面や立体を扱う幾何学は,それよりはるか昔(2000年以上前)のユークリッドの時代から存在したものです.そして,その時代にも長さや面積や体積の考えはありました.集合の考えが(少なくとも現代のそれと同等の意味では)確立していなかった時代には,「点の集合が長さや面積や体積をもつのはなぜか」という疑問はそもそも起こる素地がなかったと想像します. ところが,100年ほど前に「集合」という考えが数学にもたらされ,線や面や立体が「点の集合」と理解されるようになると,数学者は否応なく「『点の集合』の長さや面積や体積とは何か?」という根源的な問いに対峙しなければならなくなります.きっと,当時の数学者は今の質問者さんと同じように苦悶したことでしょう. そして,当時の数学者は「『点の集合』の長さや面積や体積とは何かという問いに答えるための基礎を,実はわれわれは持っていなかったのだ!」と気づいたのです.そして,「『点の集合』の長さや面積や体積とは何か」を(私たちがすでに持っている図形や集合に対する認識と整合するように)きちんと説明するための理論(測度論)を構築したのです. 質問者さんの問いというのは,実は,そのぐらい,数学における根源的な問いかけなのです. ======== 参考までに,次の文章を一読されることをおすすめします. 入江幸右衛門:直線とは何ですか。0はいくら足しても0ですか。 (情報数理科学講座:大阪府立大学理学部情報数理科学科) http://www.mi.s.osakafu-u.ac.jp/lec/mi-lecture.html#ir この文章には,質問者さんの疑問への直接的な答は書かれていません.むしろ「高校までの数学ではその問いに答え得ない,高校までの数学は根本的なところをブラックボックスにした数学なのだ」という趣旨で書かれています.
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