明日テストなんですが解析学の問題がわからないので教えて下さい....

質問

明日テストなんですが解析学の問題がわからないので教えて下さい....

A(m,n)= ∫(0～1) x^m(1-x)^n dx (m,nは自然数) とする。

(1)A(m,n)をA(m+1,n-1)であらわせ。
(2)A(m,n)を求めよ。

という問題です。わかる方いらっしゃいましたらお願いします(>_<)

回答No.2

tksmsysh

(1)部分積分すれば解けます。A(m+1,n-1)で表すことから、x^mの方を積分、(1-x)^nの方を微分すればよいことが分かります。

A(m,n)=[{1/(m+1)}{1^(m+1)}(1-1)^n]-[{1/(m+1)}{0^(m+1)}(1-0)^n]+{n/(m+1)}∫(0～1){x^(m+1)}(1-x)^(n-1)dx

={n/(m+1)}A(m+1,n-1)

(2)(1)で得られた関係式を使います。
A(m,n)={n/(m+1)}A(m+1,n-1)

={n/(m+1)}{n-1/(m+2)}A(m+2,n-2)

=………

={n/(m+1)}{n-1/(m+2)}…{2/(m+n-1)}A(m+n-1,1)

A(m+n-1,1)={1/(m+n)}{1/(m+n+1)}

よって、
A(m,n)=m!n!/{(m+n+1)!}

回答No.1

spring135

これはベータ関数の定義みたいなもので下記のURL等を参考に勉強してください。

http://blogs.yahoo.co.jp/original_zx/7504567.html