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微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+

微分方程式の初期値問題を解く問題なのですが… f'(x)+4f(x)+x^4=∫(範囲は0~x)f(t)dt,f(0)=0 これが解けなくて悩んでいます。 どなたか解き方を教えてください! よろしくお願いします!

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

f'(x)+4f (x)+x^4=∫(0~x)f(t)dt…(1) 初期条件 f (0)=0 …(2) (1)でx=0とおくと f'(0)=0 …(3) (1)を微分 f"(x)+4f '(x)+4x^3=f(x) 移項して整理すると f"(x)+4f '(x)-f(x)=-4x^3 …(4) (4)の斉次方程式の一般解f1(x) f"(x)+4f '(x)-f(x)=0 s^2+4s-1=0 s=-2±√5 f1(x)=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t …(5) (4)の特殊解f2(x) f2(x)=ax^3+bx^2+cx+d …(6) とおき(4)に代入 6ax+2b+4(3ax^2+2bx+c)-ax^3-bx^2-cx-d=-4x^3 (4-a)x^3+(12a-b)x^2+(6a+8b-c)x+2b+4c-d=0 xの恒等式なので各次の係数は全て0とおける。 a=4,b=48,c=408,d=1728 (6)に代入 f2(x)=4(x^3+12x^2+102x+432) …(7) (4)の一般解は f(x)=f1(x)+f2(x) =c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t+4(x^3+12x^2+102x+432) …(8) 初期条件(2),(3)から f(0)=c1+c2+1728=0 f'(0)=(-2+√5)c1+(-2-√5)c2+408=0 これらをc1,c2について解けば c1=-(1932(√5)+4320)/5,c2=(1932(√5)-4320)/5 …(9) (9)を(8)にに代入すれば(1)の微分方程式の答えが求まる。

appppppppleeee
質問者

お礼

わざわざありがとうございます! すごく分かりやすかったです! とっても助かりました(*^^*)

その他の回答 (2)

  • alice_44
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回答No.2

F(x) = ∫[t=0~x] f(t) dt と置くと、問題の方程式は、 F '' (x) + 4 F ' (x) + x^4 = F(x), F ' (0) = 0 と書ける。 F '' (x) + 4 F ' (x) - F(x) = -x^4 と書いたほうが見やすいか。 また、一行目の式に x=0 を代入して、F(0)= 0 も判る。 F '' (x) + 4 F ' (x) - F(x) = -x^4 に四次多項式の特殊解が ありそうなことは、すぐ見当が付く。 F(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E と置いて代入してみると、 (-A)x^4 + (-B+16A)x^3 + (-C+12B+12A)x^2 + (-D+8C+6B)x + (-E+D+2C) = -x^4。 係数比較して、 -A = -1, -B + 16A = 0, -C + 12B + 12A = 0, -D + 8C + 6B = 0, -E + D + 2C = 0。 よって、A = 1, B = 16, C = 204, D = 1728, E = 2136。 したがって、F(x) = x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136 という解がある。 そこで、G(x) = F(x) - (x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136) と置くと、 G '' (x) + 4 G ' (x) - G(x) = 0, G(0) = -2136, G ' (0) = -1728。 G の微分方程式は、斉次線型だから、型通りに解ける。 特性方程式 λ^2 + 4 λ - 1 = 0 を解いて、λ = -2±√5。 よって、G の一般解は G(x) = P e^((-2+√5)x) + Q e^((-2-√5)x) だから、 初期条件より、P + Q = -2136, (-2+√5)P + (-2-√5)Q = -1728。 この一次方程式を解いて、P = -1068 - 600√5, Q = -1068 + 600√5。 以上より、 F(x) = (-1068 - 600√5)e^((-2+√5)x) + (-1068 + 600√5)e^((-2-√5)x) + (x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136)。 微分して、 fx) = (-864 + 132√5)e^((-2+√5)x) + (-864 + 132√5)e^((-2-√5)x) + (4x^3 + 48x^2 + 408x + 1728) 計算ミスが無いといいな…

appppppppleeee
質問者

お礼

回答ありがとうございます! 細かい計算まで…感謝です!(>_<) 本当にありがとうございました!

回答No.1

(#)f' + 4f + x^4 = int[0,x]fdt, f(0) = 0. まず、f'(0) = 0. (#)を微分すると f" + 4f' + 4x^3 = f. 整理して f" + 4f' -f = -4x^3. これは、普通に解ける。 そして、f'(0) = 0, f(0) = 0の初期値を満たすように定数を決定。

appppppppleeee
質問者

お礼

迅速な回答、ありがとうございます! 頑張って解きます、ありがとうございました!!

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