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質問:この積分の問題ができません
sumou111の回答
- sumou111
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(1) √x=tと置換すると、x=t^2 → 両辺tで微分するとdx/dt=2t → dx=2t・dt これを与式に代入すると ∫e^√x・dx =∫e^t・2t・dt =2∫t・e^t・dt =2(t・e^t-∫e^t・dt) =2(t・e^t-e^t) =2e^t(t-1)+C (C:積分定数) (2)∫1/(X^3-1)・dx =∫1/(x^2+x+1)(x-1)・dx ここで1/(x^2+x+1)(x-1)を (ax+b)/(x^2+x+1)+c/(x-1)に部分分数に分解してa,b,cを求めるとa=1/3,b=2/3,c=1/3 (この計算は自分でやって下さい) よって ∫1/(x^2+x+1)(x-1)・dx =∫1/3・[(x+2)/(x^2+x+1)+1/(x-1)]・dx =1/3・[∫(x+2)/(x^2+x+1)・dx+∫1/(x-1)・dx]・・・(x) ここで分かりやすいように、(x)を(i)1/3・[∫(x+2)/(x^2+x+1)・dx]と (ii)1/3[∫1/(x-1)・dx]に分けて考えます。 (i)=1/3・[1/2・∫(2x+4)/(x^2+x+1)・dx] =1/6・[∫(2x+1+3)/(x^2+x+1)・dx] =1/6・[∫(2x+1)/(x^2+x+1)・dx+∫3/(x^2+x+1)・dx =1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫1/(x^2+x+1)・dx =1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫1/[(x+1/2)^2+3/4]・dx 第二項について考える。x+1/2=yと置換するとx=y-1/2になるので両辺をyで微分するとdx=dyになる。これを第二項に代入すると、 1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫1/(y^2+3/4)・dy さらに第二項について考える。y=√3/2・tanAと置換して両辺yで微分すると dy=√3/2・1/cos^2 A・dAになるので、これを第二項に代入すると、 1/6・log(x^2+x+1)+1/2・∫[1/(3/4・tan^2 A+3/4)・√3/2・1/cos^2A]dA =1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・∫[1/(tan^2 A+1)・1/cos^2A]dA =1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・∫[cos^2 A・1/cos^2A]dA =1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・A y=√3/2・tanAと置換したので、Aについて解くとA=arctan(2/√3y) x+1/2=yと置換したので、A=arctan[2/√3(x+1/2)] よって(i)=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)] (ii)=1/3[∫1/(x-1)・dx] =1/3・log(x-1) 与式=1/6・log(x^2+x+1)+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)]+1/3・log(x-1) =1/6・log[(x-1)^2/(x^2+x+1)])+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)] 答えがきれいじゃないので、合っているかどうか自信がありません。もし間違えていたら直してください。
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