ある問題集でy=cosec^-1(2x)の微分をしなさいとという問題が

質問

ある問題集でy=cosec^-1(2x)の微分をしなさいとという問題がありました。

公式に当てはめれば簡単なのですが、覚えの悪い僕はどうしても覚えれませんのでテストに出たらお手上げです。
ですから、この式を変形して微分をしようと思ったのですが、どうやったらできるのかがさっぱり分からないので、どなたか教えてもらえないでしょうか？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 公式に当てはめれば簡単なのですが、覚えの悪い僕はどうしても覚えれませんのでテストに出たらお手上げです。

覚えられないというのは、何の公式の事でしょうか？
cosec^-1(x)の微分公式でしょうか？
それとも逆関数の微分公式でしょうか？
それを教えていただかないと、使っても良い公式が分からないので答えづらいです。
とりあえず「cosec^-1(x)の微分公式が覚えられない」という前提でお答えします。

あとcosec^-1(x)はcosec(x)の逆関数という事でよろしいでしょうか？

> ですから、この式を変形して微分をしようと思ったのですが、どうやったらできるのかがさっぱり分からないので、どなたか教えてもらえないでしょうか？

対数微分法ができるなら、
それと同じような手順で解くことができます。
今回の問題の場合、両辺のlog値を考えるのではなく、
代わりに両辺のcosec値を考えてみます。

y = cosec^-1(2x)
cosec(y) = cosec(cosec^-1(2x))
cosec(y) = 2x

この後、両辺をxで微分してみて下さい。

逆関数の知識と合成関数の微分法、
それからcosec(x)の微分(つまり1/sinxの微分)だけで何とかできます。

結局のところ、やってる事は逆関数の微分公式と同じですが…。

お礼

ありがとうございます！！さっそく試してみます。

回答No.2

info22_

y=cosec^-1(2x) (|x|>=1/2,|y|<=π/2)
cosec(y)=2x
1/sin(y)=2x
sin(y)=1/(2x)
|y|<=π/2なのでcos(y)>=0
cos(y)=√(1-1/(2x)^2)
微分して
cos(y)y'=-1/(2x^2)
y'=-{1/(2x^2)}{1/cos(y)}
=-{1/(2x^2)}/√(1-1/(2x)^2)
|x|>=1/2なので
y'=-1/{|x|√(2x^2-1)}