微分の問題が分かりません。

質問

微分の問題が分かりません。

1. y=e^(x^2) *sinx

2. y=x^(logx)

3.y=x^(x)

です。基礎的な問題のようですが、私には、どうやって解くのか分かりません。

どなたか、解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

> 1．の解答は
> y=e^(x^2)
>
> x^2=tとおく
>
> y=e^(t)
>
> dy/dt =t*e^(x-1)
>
> dt/dx =2x
>
>
> =t*e^(t-1) *2x
> =2e^((x^2)-1) *x^3
>
> でいいのでしょうか？？

「dy/dt = t*e^(x-1)」が誤りです。
「xの定数乗(xのn次関数)」と「定数のx乗(指数関数)」は全く違う物です。
前者を微分すると{x^n}' = nx^(n - 1)となりますが、
後者（特に底がeの場合）を微分すると{e^x}' = e^xとなります。
決して{e^t}' = te^(t-1)とはなりません。
この間違いをする人は結構います。
n次関数と指数関数が全く別物ということは、
ちゃんと常に意識しておく方が良いと思います。

y = e^(t)とおいたとき、dy/dt = e^(t)です。
dt/dxはあってます。

最終的にy = e^(x^2)を微分すると、

(dy/dt)(dt/dx) = { e^(t) }2x = 2xe^(x^2)

となります。

後はこのe^(x^2)の微分の結果を利用して、
y = e^(x^2) *sinxの微分を行ってください。

> また、2．は
> y=x^(logx)
> logy=logx^(logx)
> =logx * logx
> =2/x *logx
>
> y'=y *(2/x *logx)
>
> =x^(logx) * 2/x *logx
>
> でいいのでしょうか？？

こちらはあってます。
ただ、これは好みの問題かもしれませんが、分子のx^(logx)と分母のxで約分して

x^(logx) * 2/x *logx
= 2(logx)x^{(logx) - 1}

としても良いかもしれません。

お礼

丁寧に答えて下さり、ありがとうございました（*^_^*）

回答No.2

R_Earl

> 1. y=e^(x^2) *sinx

e^(x^2) = f(x), sinx = g(x)とみなして
積の微分法

{f(x)g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

を用いてください。
f'(x)を計算する際は合成関数の微分法を用いる必要があります。

> 2. y=x^(logx)
>
> 3.y=x^(x)

対数微分法で解けます。この方法は教科書にもやり方が載っているかもしれません。
例えば3であれば次のように計算します。

y = x^x
両辺の対数をとって
log(y) = log(x^x)
∴log(y) = xlog(x)
この式の両辺を「xで」微分する事を考える。
左辺をxで微分すると、
(d/dx){ log(y) } = y'/y … (*)
右辺をxで微分すると
(d/dx){ xlog(x) } = 1・log(x) + x・(1/x) = 1 + log(x)　（積の微分法）
よってlog(y) = xlog(x)の両辺をxで微分すると最終的に
y'/y = 1 + log(x)
となる。
両辺にyをかけると
y' = y{1 + log(x)}
この問題ではy = x^xとなっているので
y' = (x^x){1 + log(x)}

2に同様の方法で計算できます。

(*)の補足
この部分は合成関数の微分法を用いています。
f(x) = log(x), g(x) = yとした時、log(y)はf(g(x))という合成関数だと見なせます。
その上で合成関数の微分法

{ f(g(x)) }' = f'(g(x))・g'(x)

を用います。
f'(x) = 1/x, g(x) = yよりf'(g(x)) = 1/y、g'(x) = y'なので

(d/dx){ log(y) }
= (1/y)・y'
= y'/y

となります。

補足

解答してくださいまして、ありがとうございます。

1．の解答は
y=e^(x^2)

x^2=tとおく

y=e^(t)

dy/dt =t*e^(x-1)

dt/dx =2x

=t*e^(t-1) *2x
=2e^((x^2)-1) *x^3

でいいのでしょうか？？

また、2．は
y=x^(logx)
logy=logx^(logx)
=logx * logx
=2/x *logx

y'=y *(2/x *logx)

=x^(logx) * 2/x *logx

でいいのでしょうか？？

なんども、聞いてすいません。

回答No.1

vollgins

１はわからない
２はlogx=tとおいて、置換積分
３も同じ