数学の問題の解答について（極限値・微分）

質問

自分で解いてみたのですが、解答が合っているかどうかがわかりません。
お手数をおかけしますが、答え合わせをお願いしたく思います。

微分の問題
(1) (x+1)^4(2x-3)^5 → (x+1)^3(2x-3)^2(14x-6)
(2) x+1/x-1 　　　 → -2/(x-1)^2
(3) ルート1-x^2 → -2x/ルート1-x^2
(4) sin(2x+1) → 2cos(2x+1)
(5) e^xcosx → e^x(cosx-sinx)
(6) log|sinx| → cosx/sinx
(7) x^x(x>0) → x^x(1+logx)

極限値の問題
(1) limit (x→0) sinx/e^x-e^-x　　　→2
(2) limit (x→0) (1+5x)^1/x →e^5

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

微分の問題
(1) y=(x+1)^4(2x-3)^5 → (x+1)^3(2x-3)^2(14x-6)

y'=4(x+1)^3*(2x-3)^5+(x-1)^4*5(2x-3)^4*2=(x+1)^3*(2x-3)^4*[4(2x-3)+10(x+1)]
=(x+1)^3*(2x-3)^4*(18x-2)

(2) y=(x+1)/(x-1) 　　　 → -2/(x-1)^2

y'=[(x-1)-(x+1)}/(x-1)^2=-2/(x-1)^2

(3) y=√(1-x^2)=(1-x^2)^(1/2) → -2x/ルート1-x^2

y'=(1/2)(1-x^2)^(-1/2)(-2x)=-x/√(1-x^2)

(4) y=sin(2x+1) → 2cos(2x+1)

y'=cos(2x+1)2=2cos(2x+1)

(5)Y= e^xcosx → e^x(cosx-sinx)

y'=e^xcosx+e^x(-sinx)=e^x(cosx-sinx)

(6) y=log|sinx| → cosx/sinx

y'=cotx/sinx

(7) x^x(x>0) → x^x(1+logx)

対数微分

y=f(x) ⇒ logy=log(f(x))

両辺を微分すると

y'/y=f'(x)/f(x)

を使う

y=x^x

logy=xlogx

y'/y=logx+x/x=1+logx

y'=y(1+logx)=x^x(logx+1)

極限値の問題
(1) L=limit (x→0) sinx/e^x-e^-x　　　→2

ロピタルの定理より

L=limit (x→0) sinx/(e^x-e^(-x))= L=limit (x→0) cosx/e^x+e^(-x)
(x→0により分子分母がともに0になる場合、分子分母をｘで微分して極限値を求めてもよい)
L=1/2

(2)L= limit (x→0) (1+5x)^(1/x) →e^5

y= (1+5x)^(1/x) ⇒ y^x=1+5x

対数を取って

xlogy=log(1+5x)

logy=log(1+5x)/x

logL= limit (x→0) logy= limit (x→0)log(1+5x)/x= limit (x→0)5/(1+5x)/1 (ロピタルの定理使用）
＝5

L=e^5