- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
y = f(x) と y = 0 と x = a と x = b で囲まれる図形の面積が、∫[x=a…b] |f(x)| dx になる理由。 平面図形の面積は、数学では、 その図形をいくつかの長方形で覆ったときの長方形の面積の和の下限と その図形の中に長方形を詰め込んだときの長方形の面積の和の上限が 一致するとき、その共通の値 …として定義される。 ∫[x=a…b] |f(x)| dx をリーマン積分として定義するとき登場する 上方和、下方和が、それぞれ、「長方形で覆う」「長方形を詰め込む」 の一例となっているため、 面積が収束するならば、その部分列の極限である ∫[x=a…b] |f(x)| dx も収束して、両者の値は一致する。
その他の回答 (3)
- post_iso
- ベストアンサー率48% (14/29)
関数f(x)とx軸に囲まれる0~xまでの面積をS(x)とします。 面積の差 dS(x)=S(x+dx)-S(x) を考えると、dxが十分小さければ関数の高さf(x)×幅dx なので dS(x)=f(x)dx ⇒f(x)=dS/dx(x) なので、微分の逆操作である積分が面積となります。 ※数学の定義では、関数に囲まれた面積を S=∫fdx で定義する方法をとっています。
そもそも、面積とは?と考えたとき 面積=積分だったので、積分を面積の定義にしたのです。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
昔よんだ教科書を思い出すと凡そ次のような感じ。 関数f(x)とx軸とy軸と直線x=x0で囲まれた部分の面積をS(x0)とする。 この関数S(x0)がx0をわずかに変化させたときにどう変化するかを調べたら、f(x0)になった。・・・(★) つまり、関数S(x)のx0における微分係数は、元の関数f(x)になる。 これによりf(x)を積分すると、面積を表す関数S(x)になる。 ★のところは、挟み撃ちの原理を使ったりすれば証明できる。あと、S(x)はx軸より上にある部分がプラス、下にある部分がマイナスとするといった約束事が必要になる。
関連するQ&A
- なんで積分すると面積が求まるのですか?
学校で積分を学んでいますが、面積を習うという最初の日に欠席してしまったのでわけがわからなくなってしまいました。教科書を見ると、「求める面積を細かく分けて全部たす」ということをやっているようだということがわかりました。この部分に関してはわかったのですが、これがどうして微分の逆をやる、つまり係数+1の逆数を掛けて係数を増やす(IIの範囲では)だけでこんなに簡単に求められてしまうのか?ということがわかりません。微分も係数を前に出して1減らすだけですがこれでどうして接線が求まるかというのはhを0に近づけて・・・というのがあったので割と簡単にわかりましたが積分にはそういうのがないのでわかりません。 どうしてでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分で面積の出し方がわかりません。
積分で面積の出し方がわかりません。 ・y=x^2 ・y=-2x-1 ・y=6x-9 この曲線と2直線で囲まれた部分の面積の出し方がわかりません。 曲線と直線の場合はわかるのですが、 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分、面積分について
ベクトル解析を習いたてのものです。自分で解釈できたのは線積分は線を細かく切っていって足し合わせたもの。面積分は面を細かく切って足し合わせたもの(間違えていたら指摘お願いします)。最初は線を積分すると面積が面を積分すると体積が求まると解釈していたのですが、どうもそんなに単純ではなく、たとえば線密度を線積分すれば線の質量がわかるといったように面積や体積までにとどまらないことがわかってきました。そこで思い出したのが高校入りたての物理でv-tグラフなるものを教わりその面積が実は移動距離になるといったことです。(この考え方はいいのでしょうか?) ここでお聞きしたい本題は、実際教科書の線積分や面積分の問題を解いて答えを導き出したい場合は、単純に面積や体積を求めるということでいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分で面積を求める??
y=(cosx)^2 y=1 の二つに囲まれた部分の面積を求めたいです。 0<x<π です。 そこで、グラフにすると、y=1のほうが上にあるから、 (1-(cosx)^2)を積分しようと思ったのですが。。。 ここから先が進みませんでした。 ちなみに、答えはπ/2のようです。 解き方を教えてください。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 定積分と面積
*あくまでも数学IIBまでしかやってない私の疑問です 定積分で面積が求められるという説明が教科書の説明では意味がよく分かりませんでしたが あるとき定積分で面積が求められるのは横幅が非常に小さい長方形に細かく分割してそれらを足し合わせると、その求めたい面積に近づく。 という説明を見て、すごく分かりやすいなぁと感心しました。 しかしそれと同時に疑問が沸いてきたのですが なぜ検定教科書等ではこういう説明の仕方はされてないのでしょうか? もちろんすべての教科書を見たわけではないんですが・・・。 そもそもdxのdは微小量を、積分というのは足し合わせる(この場合は微小面積を足し合わせる?)ということを意味するというのもその時初めて知りました。 教科書等にそれらが載ってないということは、この説明では分かりやすいだけで何か不適当な部分があるということでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 定積分と面積・・
「曲線C:x^3-x^2とCに接する異なる直線L,Mがある。CとLとで囲まれた部分の面積と、CとMとで囲まれた部分の面積とが等しいとき、LとMとは平行であることを示せ」という問題の解説で「f(x)=x^3-x^2とおくとf'(x)=3x^2-2xであるから曲線C上の点(α,α^3-α^2)における接線の方程式はy=(3α^2-2α)(x-α)+α^3-α^2 ∴y=(3α^2-2α)x-2α^3+α^2この右辺をg(x)とおくと、f(x)-g(x)=x^3-x^2-(3α^2-2α)x+2α^3-α^2=(x-α)^2(x+2α-1) β=1-2αとおくと f(x)-g(x)=(x-α)^2(x-β) でえあり、CとLとで囲まれた部分の面積S1は β≦αのとき、S1=∫{f(x)-g(x)}dx (定積分の区間は下端β、上端α) α≦βのとき、S1=∫{g(x)-f(x)}dx (定積分の区間は下端α、上端β)・・・・・」と続いていくのですが「CとLとで囲まれた部分の面積S1は β≦αのとき、S1=∫{f(x)-g(x)}dx (定積分の区間は下端β、上端α) α≦βのとき、S1=∫{g(x)-f(x)}dx (定積分の区間は下端α、上端β)」のところのいみがわかりません・・ 教えてください!!
- ベストアンサー
- 数学・算数