x^100を(x+1)^2で割ったときの余りを求めよ。

質問

x^100を(x+1)^2で割ったときの余りを求めよ。

この問題の解法は１つは、２項定理を用いる方法で
x^100=(x+1-1)^100と考える。
２つめは、余りをax+bとおいて、微分する方法。
３つ目の方法があったら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

x^n=(x+1)^2 Q(x) -(-1)^n {nx+(n-1)} （ただし、Q(x)は整式）と仮定して、数学的帰納法で解いてはいかがでしょうか。

　ちなみに、質問者さんの1つめの方法は y=x+1 と置いた方が見やすいですよね。
　　(y-1)^100=y^2 Σ[k=2→100] (-1)^(100-k) 100_C_k y^(k-2) -100y+1
　∴x^100=(x+1)^2 Σ[k=2→100] (-1)^k 100_C_k (x+1)^(k-2) -100x-99

お礼

一般化できたのですね。
この式を予想することもちょっと大変。
ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>Ｒはいいとして、Ｓはどうどう巡りしそうで 思いつかない。

剰余定理。
　R = (x^100) x=-1
　S = P(-1)

小細工。
　(x+1)*P(x) = x^100 - R
　　↓ 微分
　(x+1)*P'(x) + P(x) = 100*x^99
　P(-1) = (100*x^99) x=-1

回答No.3

Tacosan

R がわかれば x^100 - R を x+1 で割るだけで, これはうまく計算すれば簡単です＞#2.
というわけで思いっきりな大技:
f(z) = (z^n-1)/(z-1) は z の n-1次式. これを z で微分し x^(n-2)f'(-1/x) を計算する.

お礼

微分するところの意味がむずかしい。
ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>x^100を(x+1)^2で割ったときの余り ......

剰余定理 + 小細工。

　x^100 = (x+1)*P(x) + R
　P(x) = (x+1)*Q(x) + S

として、R, S がわかれば良さそう。
　x^100 = (x+1)*{(x+1)*Q(x) + S} + R

R はすぐわかりますが、S は手ごわいでしょうか？

お礼

Ｒはいいとして、Ｓはどうどう巡りしそうで
思いつかない。ありがとうございます。