数学の問題でどうしても分からないものがあるので質問させて下さい。

質問

数学の問題でどうしても分からないものがあるので質問させて下さい。

x=2+√3のとき
(1)x^2-4x+1=0であることを示せ。

(2)x^4-8x^3-1の値を求めよ。

この２題なのですが（１）のほうは０と答えが出たのですが、(2)のほうが答えが2と書いてあるのですが、途中式が分かりません。

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

wkbqp833 · ベストアンサー

x^2-4x+1=0 より、x^2=4x-1 ←左辺をx^2だけにする　(1)とする

x^4-8x^3-1=x^2(x^2-8x)-1
(1)よりx^2に4x-1を代入
=(4x-1)(4x-1-8x)-1
=(4x-1)(-4x-1)-1
=-16x^2 さらに(1)を代入
=-16(4x-1)
=-16(4*(2+√3)-1)
=-122-64√3

(2)の式、どこか違っていませんか？

補足

回答ありがとうございます。すいません。(2)はx^4-8x^3+14x^2+8x-1でした。
よろしくお願いします。

回答No.3

R_Earl

ANo.1です。

> (2)はx^4-8x^3+14x^2+8x-1でした。

これならちゃんと2になります。

> 途中式が分かりません。

中学3年生で習った「展開」と「平方根」の知識だけで解ける問題です。
もっと素直に考えましょう。

x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x - 1
= (2 + √3)^4 - 8(2 + √3)^3 + 14(2 + √3)^2 + 8(2 + √3) - 1

として計算するだけで、解けるはずですよね。
最初から諦めてしまうと、解ける問題も解けなくなってしまいます。
まずは自分にできそうなやり方で問題に取り組むことが大事ですよ。

「この計算が面倒で楽に計算する方法を知りたい」と思って質問したのなら、
ANo.2の方のやり方を参考にしながらやってみると良いと思います。

数2の「整式の除法」を習っているなら、
多項式の割り算を利用して楽に(?)解く方法もあります。

回答No.1

R_Earl

> (2)のほうが答えが2と書いてあるのですが、途中式が分かりません。

問題に不備があるか、または答えが間違っていると思います。
計算したらx = 2 + √3の時、x^4 - 8x^3 - 1 = -64√3 - 112となりました。

補足

回答ありがとうございます。すいません。(2)はx^4-8x^3+14x^2+8x-1でした。
よろしくお願いします。