ｎ次導関数を求める問題

質問

ｎ次導関数を求める問題
なのですが、次の二問が分かりません。どなたかわかる方がいらっしゃいましたら解説をよろしくお願いします。
1.(e^ax)(cosbx)
2.(sinax)(cosbx)

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

Re や Im は微分不可能な関数だから、
これを使った合成関数を微分するのは、ちょっとマズイ。

e^(ix) = (cos x) + i (sin x) を利用するのなら、
cos x = (1/2){ e^(ix) + e^(-ix) } と変形して
(e^ax)(cos bx) = (1/2) e^{ (a+bi)x } + (1/2) e^{ (a-bi)x }
を微分するとかなら、アリかもしれない。

もっと初等的には、積の微分公式
(d/dx)^n (f・g) = Σ[k=0…n] (nＣk){ (d/dx)^k f }{ (d/dx)^(n-k) g }
を使って、直接展開してしまえばよい。
(d/dx)^k (e^ax)
(d/dx)^k (cos bx)
(d/dx)^k (sin ax)
などは、簡単だろうから。

回答No.1

quadlike

どちらもオイラーの公式 e^(ix)＝cosx＋isinx を使えばラクに計算できます．

1.
　e^(ax)cos(bx)＝Re(e^((a+ib)x))
だからn回微分すると，
　Re((a+ib)^ne^((a+ib)x)
となります．

2.
積和の公式
　sin(ax)cos(bx)＝1/2(sin((a+b)x)＋sin((a-b)x))
を使うと
sin(ax)cos(bx)＝Im(1/2(e^(i(a+b)x)＋e^(i(a-b)x)))
となって後はn回微分するだけです．