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共分散行列用データ
共分散行列用データ 共分散行列を使わなければならない前提があるとして、そのデータを任意に作らなければならないのですが、どのように作成したらよいかが全く解りません。 書籍やHPの紹介でも良いので、宜しく御願い致します。
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No.1に追加。 データ行列Xのサイズは、m < nとしています。 また、求めたXは平均値が0になります。
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何に使うのかがわかりませんが、標本分散共分散行列のみわかっていて、それに合うようなデータを作成したいのですね。 サンプルサイズがnのデータをn×m行列Xで表すとします。 このとき、標本分散共分散行列Sは次のよう計算できます。 S = X'(I(n)-JJ'/n)(I(n)-JJ'/n)X/n (*) ここで、I(n)はn×n単位行列、Jは全ての要素が1であるn×1行列、X'はXの転置行列です。 SとI(n)-JJ'/nは対称行列なので、それぞれ適当な直交行列で対角化できます。 P'SP = DD Q'(I(n)-JJ'/n)Q = ((I(n-1) O)' (O O)') Pはm×m行列, Qはn×n行列で PP' = P'P = I(m) QQ' = Q'Q = I(n) となります。 Dはm×m対角行列で、対角成分はSの固有値の平方根となります。 零行列の次元を書いていないのでわかりにくいですが、((I(n-1) O)' (O O)')は1行目からn-1行目の対角成分のみが1でそれ以外は0であるn×n行列です。 さて、Sは S = PDDP' = PDDP' = P(D O)(D O)'P' = P(D O)Q'Q(D O)'P' と変形できるので、(*)との比較から (I(n)-JJ'/n)X/√n = Q(D O)'P' を満たすXを求めればよいことになります。 その解はGをI(n)-JJ'/nの一般逆行列とすれば、 X = (√n)GQ(D O)'P' (**) となります。 なお、一般逆行列は一つとは限らず複数存在します。 今回の場合 X = (√n)(I(n)-JJ'/n)Q(D O)'P' も解の一つとなります。 (**)以外にも(*)の解があるかも知れませんが、私にはわかりません。 > 書籍やHPの紹介でも良いので、宜しく御願い致します。 「統計のための行列代数」（D.A.ハーヴィル著)はいかがでしょうか。
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