ラグランジュの未定乗数法

質問

参考書を読んでいると、よくラグランジュの未定乗数法が出てきますが
その未定乗数法で、適当な定数としてλ（ラムダ）をかけて計算していますが
このλの意味は何でしょうか
これを説明している本が見つからなくって・・・

回答No.4

motsuan

たとえばルジャンドル変換の共役な変数みたいなものと考えればいいのではないでしょうか？

たとえば熱力学においてエネルギーＵが体積V（示量変数）に対して
Ｕ＝Ｕ（Ｖ）
で与えられているとき、体積一定Ｖ0でエネルギーを最小にしようと思うとｐをパラメータとして
Ｕ＝Ｕ（Ｖ）＋ｐ（Ｖ－Ｖ0）
として（ルジャンドル変換ですね）、勝手なＶでＵを最小にするものＶeqを選びます。このとき、Ｖeqはｐをパラメータとして含みます。したがって、ＵはＶeqをとおしてｐの関数となります。このときの熱平衡条件（ｐを変数としたとき、エネルギー変化が無くなるＶを選ぶ＝つまり外界からの体積の流入によって熱平衡に達したという条件）が
∂Ｕ／∂ｐ　＝　Ｖeq（ｐ） －Ｖ0　＝０
で、束縛条件に他なりません（これを満たすｐを決めるのがラグランジュの未定乗数決定法です）。つまり、Ｖが変数だった系からＶに揺らぎがあるような系に移って最小をあたえるものとしてＶがきまり、そのときのパラメータがｐとなるという意味です。熱力学をやっていれば、ｐは圧力（Ｖに対する示強変数）でなければならないことは明らかです。・・・という具合に物理では単なる係数としてではなく意味のある物理量が出てくることが多いです。

でも、分かりやすいのは、長さｌの糸でつるされた（束縛された）系
　Ｌ＝1/(2m){(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}-gy+λ(x^2+y^2-l)
を適当に近似して単振動運動を再現してみてλが何であるか見てみれば係数が重要な意味があることが分かると思います。（というか次元解析をすればそりゃそうだという感じなんですけどね）