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春休みはもう終わりというのにまだ宿題が終わっていません。高2の三角関数
春休みはもう終わりというのにまだ宿題が終わっていません。高2の三角関数の問題なんですが、難しくてわかりません。教えてください。 cosx-1 lim ___ ←これは分数です。読むとリミットx→0 xtanx分のcosx-1です。 x→0 xtanx (2) π lim (x-__)tanx ←ぐちゃぐちゃですが、読むと、リミットx→2分の π(x-2分の π)tanxです。 x→ π 2 __ 2 できれば2つ教えてほしいですが、1つでもいいのでよろしければ教えてくださいお願いします。
- takatyome8
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x ≒ 0 のときに sin x ≒ x cos x ≒ 1 + (-1/2)x^2 であることは、 覚えておくと便利です。 (高校の段階では、証明には使えませんが。) cos のほうに出てくる係数 -1/2 は、 (d/dx) cos x = - sin x を使って sin x ≒ x に結びつけると、覚えやすい。 これを使うと、(1) は、 ( cos x - 1 ) / ( x tan x ) = ( cos x - 1 ) / ( x sin x / cos x ) ≒ (-1/2)x^2 / { x^2 / ( 1 + (-1/2)x^2 ) } = (-1/2) ( 1 + (-1/2)x^2 ) ≒ (-1/2) で値が判ります。 …[A] この計算を、答案に書ける形で進めるには、 sin x ≒ x を (sin x) / x ≒ 1 cos x ≒ 1 + (-1/2)x^2 を (cos x - 1) / x^2 ≒ -1/2 と捉えなおして、 lim[x→0] (sin x) / x = 1 lim[x→0] (cos x - 1) / x^2 = -1/2 という公式として使う。 lim[x→0] ( cos x - 1 ) / ( x tan x ) = lim[x→0] ( cos x - 1 ) / ( x sin x / cos x ) = lim[x→0] { (cos x - 1) / x^2 } (cos x) / { (sin x) / x } = { lim[x→0] (cos x - 1) / x^2 } { lim[x→0] (cos x) } / { lim[x→0] (sin x) / x } = (-1/2) 1 / 1 とすればよいです。 …[B] [A] と [B] のどの部分が対応しているか も見ておくと、理解が深まります。 lim[x→0] (sin x) / x = 1 は、 教科書に必ず出ている基本公式。 lim[x→0] (cos x - 1) / x^2 = -1/2 は、 sin のほうの公式を使って示すことができます。 lim[x→0] (cos x - 1) / x^2 = lim[x→0] { (cos x - 1) (cos x + 1) } / { x^2 (cos x + 1) } = lim[x→0] - { (sin x) / x }^2 / (cos x + 1) = - { lim[x→0] (sin x) / x }^2 / ( lim[x→0] cos x + 1 ) = - 1^2 / (1 + 1) です。 もうひとつ、 lim[x→0] (tan x) / x = lim[x→0] { (sin x) / (cos x) } / x = lim[x→0] { (sin x) / x } / (cos x) = { lim[x→0] (sin x) / x } / { lim[x→0] (cos x) } = 1 / 1 を公式として覚えてしまってもよい。
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- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
おはようございます。 分数は「/」の記号を使うとすっきり書けますよ。^^ 書きなおしてみますが、「こうかな?」というイメージで書いています。 (1) lim [x→0] { cos(x)- 1 }/{ x* tan(x) } (2) lim [x→π/2] { (x- π/2)* tan(x) } (1)は、tan(x)を sin、cosに書き換えて、「分子の有理化もどき」をおこないます。 (2)は、「x→π/2」よりは「→ 0」となる方がわかりよいので、 x-π/2= tとでも置いてみてください。「t→ 0」となり式ももうちょっとすっきりすると思います。 あとは、(1)と同様 sin, cosに書き換えてみてください。
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
tanx=sinx/cosxだから、分母・分子にsinxcosxをかけて、(sinx/x) が出てくるまで変形してみる。 x-(π/2)=θとおくと、x→π/2のときθ→0 tan{θ+(π/2)}=-1/tanθ=-1/(sinθ/cosθ)=-cosθ/sinθだから (θ/sinθ)が出てくる。
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