契約を結んでいないものについて供託金制度が適用できるのか？

質問

私は賃貸マンションを経営しているものですが、
今回新規に家の契約を結びたいという方がいらっしゃいまして、
部屋もご覧になられ、大変気に入られたようで、賃貸契約を結ぶことになりました。
この借主と賃貸契約を結ぶに当たり、契約書の提出をお願いしたのですが、
連帯保証人が見つからないので保証人なしで契約したいといわれました。
私のほうも連帯保証人は必ずつけていただかないと契約を結ぶことができないと伝えると、
家賃を滞納せずに払うといっているのになぜ保証人をつけないといけないのか？
そっちが家賃を受け取らないというのなら
（契約できないのでもちろん家賃を受け取ることはできないのですが、）
それなら法務局の供託金制度を利用すると言い出し、正直なところ困っています。
仲介者である不動産屋はまったく使い物にならず、
保証人になってくれる人がいないということなので何とかなりませんかという始末。
私としても他の入居者がいる手前、この方だけを保証人なしで入居させるわけにもいかず、
民間の保証人代行業者を進めても、金がかかるから使わないとのこと。
皆さんに教えていただきたいことは、契約を結んでいない状態で
供託金制度を受けることができるのでしょうか？
供託金というものも詳しい法律的なことまでは分からないので、
教えていただければと思っています。
よろしくお願いいたします。

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