- ベストアンサー
log関数の性質を利用した不等式を証明する問題
- 0 < x < 1の範囲で、log(1/1-x^2) < {log(1/1-x)}^2 を示す問題です。
- 問題をf(x)={log(1/1-x)}^2-log(1/1-x^2)とおき、f(x)の導関数を求めると、f'(x)=-2{(1+x)log(1-x)+x}/(1-x^2)となります。
- xの範囲が0 < x < 1であることから、f'(x) > 0となり、結果として不等式が成り立つことが示されます。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- oshiete_goo
- ベストアンサー率50% (374/740)
- oshiete_goo
- ベストアンサー率50% (374/740)
＞★みたいにしてよかったのでしょうか 良いですね． ただし．表記がまずくて log{1/(1-x^2)}＜[log{1/(1-x)}]^2・・・（＊） でないと不都合です． なお，（＊）を示すだけでよいのなら (右辺)－(左辺) ＝log{1/(1-x)}・[log{1/(1-x)}－log{1/(1+x)}] ＝log{1/(1-x)}・log{(1+x)/(1-x)}・・・（１） で，０＜ｘ＜１より 1/(1-x)＞１，(1+x)/(1-x)＞１を使えば，底e>1より log{1/(1-x)}＞０，log{(1+x)/(1-x)}＞０ なので （１）＞０ ですね．
お礼
ありがとうございます。 うわー！こんなに簡単にできるなんて！
関連するQ&A
- 逆ラプラス変換について
L^(-1)[log((s^2+1)/(s-1)^2)](x) という問題をとくの F(s)=log((s^2+1)/(s-1)^2)=log(s^2+1)-log(s-1)^2 とおく s→∞でlimF(s)=0 でありF'(s)=2s/(s^2+1)-2/(s-1) であるのでF(s)=-∫F'(t)dt （s～∞）=∫{2/(t-1)-2t/(t^2+1)}dt （s～∞） である．ここでG(s)=2/(t-1)-2t/(t^2+1) と置くと F(S)=∫G(t)dt（s～∞） でありg(x)=L^(-1)G(x)=2e^(x)-2cosx=2(e^(x))-cosx) よってL^(-1)F(x)=L^(-1)[∫G(t)dt](x) （s～∞） =g(x)/x=2(e^(x))-cosx)/xとなりました． ただL^(-1)(s/(s^2+4)^2)(x) を上記の通りに解いたら2(e^(x)-cosx)/xとなりました．これは合っているのでしょうか? また間違っていたらご指摘お願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
問題 x > 0 のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 log (1 + x) < (1 + x)/ 2 F (x) = (1 + x)/2 -log (1 + x ) とおくと、 F' (x) = 1/2 - 1/ (1 + x) = (x - 1)/2(1 + x) F' (x) = 0 とすると、x = 1 x > 0 における F (x) の増減は、 x =0 のとき、F(x) = 1/2 0＜x＜1のとき、 F ' (x) < 0, 増減: 減少, x = 1 のとき、 F ' (x) = 0, 極小値 1-log2 1 < x のとき、 F ' (x) > 0, 増減: 増加 2< e であるから、log 2 < log e すなわち、log 2 < 1。 1-log2 > 0 であるから、x > 0 のとき、 F(x) ≧ F(1) > 0 よって、x > 0 のとき、log (1 + x) < (1 + x)/ 2 は成り立つ。 ここで質問なのですが、 なぜ、2< e であるから、log 2 < log e すなわち、log 2 < 1。といったようになるのでしょうか。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- g(f,x)が存在しないことの証明
f(x)=1のとき g(f,x)=A …(1) f(x)=0のとき g(f,x)=B …(2) となるようなg(f,x)が存在しないことを背理法を用いて証明する。 g(f,x)が存在したとすると g(f,f)=Bのとき h(f)=1 …(3) g(f,f)=Aのとき h(f)=0 …(4) となるようなh(f)を用いて [1]h(h)=1のとき (3)より g(h,h)=B g(h,h)=Bのとき、(2)より h(h)=0 これはh(h)=1と矛盾するので、g(f,x)=Bは存在しない [2]h(h)=0のとき (4)より g(h,h)=A g(h,h)=Aのとき、(1)より h(h)=1 これはh(h)=1と矛盾するので、g(f,x)=Aは存在しない [1]、[2]より、g(f,x)は存在しない。 上記の証明に関して、何か問題はあるか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 関数の逆数の微分公式の示し方について「
積の微分公式 [f(x)h(x)]'=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)の示し方について 回答をいただきありがとうございました！！ なんとか理解できました！ 関連問題で [1/g(x)]'=- 1/[g(x)]2乗 を示す問題があるのです。 先ほどの問題と関連付けて h(x)=1/g(x)とおき解くのかな？と思うのですが 当てはめてもうまくいきません・・。 解き方が間違っているのでしょうか。 どなたかわかればお願いします。 私も引き続き頑張ってみます。
- 締切済み
- 数学・算数
- 4次方程式の4つの解α_iに対して，
f(x)=x^4+px^2+q^x+r=0 の４つの解 α_i (i=1,2,3,4)に対して， β_1=(α_1+α_2)(α_3+α_4), β_2=(α_1+α_3)(α_2+α_4), β_3=(α_1+α_4)(α_2+α_3) γ_1=(β_1)^2(β_2)+(β_2)^2(β_3)+(β_3)^2(β_1), γ_2=(β_1)(β_2)^2+(β_2)(β_3)^2+(β_3)(β_1)^2 とおくとき，次の問いに答えよ． (1) β_1, β_2, β_3 を３つの解にもち，x^3 の係数が１である３次方程式を g(x)=0 とする．g(x) を求めよ． (答)g(x)=x^3-2px^2+(p^2-4r)x+q^2 (2) γ_1, γ_2 を２つの解にもち，x^2 の係数が１である２次方程式を h(x)=0 とする．h(x) を求めよ． (答)h(x)=x^2+(-2p^3+8pr-3q^2)x+p^6-12p^4r+4p^3q^2+48p^2r^2-48pq^2r-64r^3+9q^4 (3) f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0 の判別式をそれぞれ d(f),d(g),d(h) とおくとき， d(f)=d(g)=d(h) を証明せよ． ただし，判別式とは解の差積の平方で，例えば，d(g)=(β_1-β_2)^2(β_2-β_3)^2(β_3-β_1)^2 である． (1),(2)は解と係数の関係を用いて、地道に求められました。 (3)ができた方は教えていただけないでしょうか。 また、β_iやγ_iを上記のようにおいた根拠をご存知の方はどうか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆ラプラス変換について
L^(-1)[log((s+a)/(s+b))](x) という問題をとくのに授業でもらったプリントに F(s)=log((s+a)/(s+b))=log(s+a)-log(s+b) とおく s→∞でlimF(s)=0 でありF'(s)=1/(s+a)-1/(s+b) であるのでF(s)=-∫F'(t)dt （s～∞）=∫{1/(t+a)-1/(t+b)}dt （s～∞） である．ここでG(s)=1/(s+a)-1/(s+b) と置くと F(S)=∫G(t)dt（s～∞） でありg(x)=L^(-1)G(x)=e^(-bx)-e^(-ax) よってL^(-1)F(x)=L^(-1)[∫G(t)dt](x) （s～∞） =g(x)/x==e^(-bx)-e^(-ax)/xと書いてありましたが 途中のF(s)=-∫F'(t)dt （s～∞）がこうなるのがよくわかりません．公式ですか？ ただL^(-1)(s/(s^2+4)^2)(x) を上記の通りに解いたら2(e^(x)-cosx)/xとなりました．これは合っているのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 導関数利用の不等式の証明
お世話になっております。また、夜分にすいません。 数学3からの質問です。 例えば、f(x)＞g(x)をx＞0の範囲で証明するのに、 h(x)=f(x)-g(x)が、x＞0で常にh(x)＞0 であるのを示すのが基本的な方針かと思いますが、その手段として lim[x→∞]h'(x)=∞ が成り立つことを示すのは、h(x)がx＞0で単調増加になることの根拠として十分でしょうか？ あるいは、これに加えて、x＞0 の範囲にh'(x)=0となるxが存在しないことも必要になりますか？ ざっくりし過ぎなので、例題を挙げますと log(1+x)＞x+x・log{2/(x+2)} 但しx＞0 の証明などです。 アドバイス宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数f(x)=・・・について
関数f(x)=[log2](x+1)+[log4]{2(5-x)}について (1)f(x)=(1/2)[log2]g(x)と表すときg(x)の求め方 (2)f(x)の最大値とそのときのxの値の求め方 を教えて下さい 答えは (1)g(x)=2(x+1)^2(5-x) (2)x=3のとき最大値３ ※[log2]などとしたのは”ログ２底”のことです
- 締切済み
- 数学・算数
- どなたか教えてください。問題を解いていて詰まってしまいました…
どなたか教えてください。問題を解いていて詰まってしまいました… 1.ｆ1～ｆ5をそれぞれ次の式で定義された実数から実数への写像とする。これらの値域を答えなさい。さらに全単射、単射、全射、単射でも全射でもどちらでもないのいずれであるか答えなさい。またグラフも描きなさい。 ｆ1(x)=x+1 f2(x)=x^3 f3(x)=x^3-x f4(x)=a^x (a≠1、a>0) f5(x)=x^2 2.ｆ，ｇ，ｈは実数から実数の写像でf(x)=x-2，g(x)=3x，h(x)=sinxとする。 このとき、ｆ・ｇ・ｆ と ｈ・ｇ・ｆ と ｇ・ｈ・ｆ を求めなさい。 この2問です。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。 ちゃんと自分自身で考えないといけないということにいまさら気付いた。 お気遣いありがとうございます。