渦巻き状の蚊取り線香をちょうど半分にするには?

質問

「KINCHO」の渦巻『かとりせんこう』を見て思い付いたのですが...

渦巻き状の蚊取り線香をちょうど半分(体積が半分)にするためには、どの地点で折ればいいのでしょうか?

回答No.6

tancoro · ベストアンサー

tancoroです。
先ほどの続きですが、違った角度からの解放をしてみたいと思います。

蚊取り線香は、ご存知の通り線香部分、隙間部分は一定の幅を保ちながら中心に向かっています。幅を a とすると、（幅aは、線香部分の真中 ～ ひとつ内側の線香部分の真中までの長さ。）蚊取り線香は、１周あたり a だけ中心に近くなっているといえます。

よって、中心から線香までの長さRを 渦の外側から中心に向って回る角度θで表すと、
R = f(θ)
= r0 - aθ/(2π) ------（１）
但し、r0は中心から一番遠い端 ～ 中心までの長さとします。

次に、蚊取り線香の弧の長さを求めてみます。
角度０～θまでの弧を、無限個の円弧に分割し求めてみます。
L(θ) = lim[t->∞] Σ[k=1 to t] (θ/t){r0 - (a/2π)(θ/t)k}
= ∫ R・dθ
= r0θ - aθ^2/(4π) ----- (２）

(1)から中心位置の角度θを求めます。中心は R = 0なので、
r0 - aθ/(2π) = 0
θ = 2πr0/a

これを、(2)式に代入すれば蚊取り線香の全長が求まります。蚊取り線香の全長Sは、
S = πr0/a * r0 = π * r0^2 /a

(1)、(2)からθを消去すると、弧の長を L(R)で表せます。
L(R) = (r0 - R)2π{r0 - (r0 - R)/2}/a

L(R) = S/2となるようなR が求める値です。
πr0^2 /(2a) = (r0 - R)2π{r0 - (r0 - R)/2}/a
r0^2 = 4(r0 - R){r0 - (r0 - R)/2}
r0^2 = 2r0^2 + 2Rr0 - 2Rr0 -2R^2
r0^2 = 2r0^2 - 2R^2
R^2 = (1/2) * r0^2
R = r0/√2

よって、前回回答した答えと一致します。

さらに、この r0/√2 を (1)式に代入すると、
θ = 2π(r0 - r0/√2)/a
= 2π(1-1/√2)r0/a

つまり、蚊取り線香の一番外側から (1 - 1/√2)r0/a 周 のところがちょうど半長になる。
以上です。参考までに・・・

回答No.5

tancoro

こんにちは、tancoro です。
前回は、言葉足らずでしたので以下に補足します。

＞ 実際に測定しました。
＞ 「隙間のない円盤」とありますが、実際には円盤ではない
確かに、円盤ではありません。今の場合重要なのは、蚊取り線香の隙間部分と線香部分の面積が同じであるということです。ですから、正確な円盤でなくても問題ありません。

＞ 測定したのは一番遠い端の間の長さです。
問題ないと思います。
但し、線香にも太さがあります。今の場合は、最外側の線香の真中 ～ 渦の中心までの長さです。

＞ ですがこの方法では、「どこか1箇所を折る」際に、誤差があまりにも大きいですね。
そんなことはないと思います。香取線香は、一定の割合で中心に向かって半径が短くなっています。
ですから、渦の中心から r/√2 という長さの位置は一意になるはずです。但し、線香の太さを考慮しなければいけません。この場合も、先ほどと同様に、渦の中心 ～ 線香の真中までが r/√2である部分とします。

回答No.4

tancoro

かとりせんこう１つの隙間に、もうひとつかとりせんこうが入りますよね。
つまり、２つのかとりせんこうを組み合わせれば隙間のない円盤になりますよね。
円盤の半径をrとした場合、面積は、πr^2。
そこで、2πt^2 = πr^2になるようなtを見つければよいことになりますよね。
t = r/√2
つまり、かとりせんこうの中心からr/√2の位置で折ればちょうど体積が半分になります。

補足

実際に測定しました。
「隙間のない円盤」とありますが、実際には円盤ではないので、測定したのは一番遠い端の間の長さです。
2r~11.7[cm] , r~5.9[cm] , t~4.1[cm]

ですがこの方法では、「どこか1箇所を折る」際に、誤差があまりにも大きいですね。

回答No.3

qwer021

昔クイズで同じようなことを聞いた気がしたんで
探したらこんなのがありました。
（回答でなくてすみません）

参考URL：

http://members.jcom.home.ne.jp/1610376401/omosiro.15..htm

回答No.2

kaban_san

糸を乗せて、その糸の半分の長さの地点が中間ですね。

あるいは、バラバラになってもいい、単に体積上の二分割ならば、
二本はずさない状態で、半分に包丁か何かで両断すれば、半分をつくることができます。

お礼

早速のご返答ありがとうございます。
...確かにそうなんですが、できればもうちょっと「オ!」っと思えるような方法が知りたかったんですが...
質問が不明確だったかもしれませんね。

補足

測定結果です。
糸の長さは、約80.5[cm]でした。従って半分の地点は、端から測定して約40[cm]の位置でしょう。

回答No.1

fuji1

こんばんわ。
簡単な方法だと、一本無駄にしますが先頭と真ん中の両方から点けて、自然に燃焼させてみればいいかと思います。
昔試したことがあるような気がします。

お礼

早速のご返答ありがとうございます。なるほど....是非、試してみます。

補足

1本を両端から燃焼させたところ、約3時間で蚊取り線香は燃え尽きました。つまり1本の蚊取り線香が燃え尽きるまでに要する時間は約6時間ということになります。
さらに、上に挙げた測定値から、蚊取り線香の燃焼の「速度」が
80.5[cm]÷6[時間]~13[cm/時]
と求まります。

こんなことを計算している暇があったら....