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ピストン内における球の運動の問題がわかりません。

質量Mのピストンがついた、垂直状態にあるシリンダー内で、n個(>>1)の球が、ピストンとシリンダーの底の間で、弾性的に衝突し、とび跳ねる。 系は釣り合いの状態にある。底からのピストンの高さはh。 ピストンを、勢いよく抜き取ると、球はどれだけの高さまで飛び上がるか。 シリンダーの壁と、ピストン間の摩擦と気圧は無視する。 という問題が解けません。 解法をよろしくお願いします。

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  • 物理学
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分子運動のモデルですね。球どうしの衝突は考えなくてよいのだと解釈します。 球の質量をm,ピストン位置における速度の鉛直成分の大きさをvとします。弾性衝突ですからつりあいの状態においてvは保存されます(摩擦なし,はねかえり係数1)。 球がピストンに衝突すると,2mvの力積を及ぼします。ピストンが受ける球1個当たりの平均の力をf,時間をtとして ft = 2mv。この球が次の衝突までにhを往復しますから, h = vt/2 + 1/2・g(t/2)^2 これをtについて解いて t = 2v/g・{-1+√(1+2gh/v^2)} ∴ f = 2mv/t = mg/{-1+√(1+2gh/v^2)} となります。シリンダ内の球n個が衝突によってピストンに及ぼす力が,重力とつりあっていますから, nf = Mg  ∴ nmg/{-1+√(1+2gh/v^2)} = Mg これをv^2について解くと v^2 = 2M^2gh/{nm(2M+nm)} ピストンを抜いたとき,vを初速度として鉛直投げ上げとなりますから,最高点のピストン位置からの高さは, H = v^2/(2g) = M^2h/{nm(2M+nm)} となると思います。底面からの高さはh+Hです。まだしっかりチェックしていないので,計算ちがいがあるかもしれません。

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  • 回答No.2

訂正です。 vを初速度として鉛直投げ上げ  → vを初速度の鉛直上むき成分として,ピストン位置から投げ上げ

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