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ピストン問題(明治)

 図のように、円筒形の容器に2つのピストンがはめられ、鉛直に立てられている。容器内はピストンによってA室、B室に分けられていて、両室はコックの付いた細い管で結ばれている。ピストンは容器内を上下に滑らかに動けるようになっており、また、容器内の任意の位置で固定することもできる。容器の断面積はSであり、ピストンの質量はいずれもmである。容器の底近くにはヒーターが取り付けられてあり、A室内の期待を加熱できる。容器やピストンなどの装置は、すべて熱容量の無視できる材料で作られており、また、熱を通さない。気体の質量、管の体積、ヒーターの体積は無視でき、管の口をピストンがふさぐことはない。重力加速度の大きさをg、気体定数をRとする。単原子分子理想気体の定積モル比熱は3R/2である。  はじめ、コックを閉じ、ピストンが自由に動けるようにして、A室とB室のそれぞれに、絶対温度Taの単原子分子理想気体をnモルずつ閉じ込めた。容器の外側は真空にした。ピストンがつり合いの位置で静止しているときのA室の圧力Poは[ c ]であり、A室の体積は[ ア ]である。このとき、B室の体積はA室の[ イ ]倍になっている。  次に、つり合いの位置で両方のピストンを固定して、ヒーターに電流を流し、A室内の期待に熱量Qをゆっくりと加えてからヒーターを切った。その結果、A室内の気体の絶対温度はT1、圧力はP1 となった。T1=To+[ ウ ]であり、P1=Po+[ エ ]である。  続いて、コックを開いて、全体が一様になるまで十分に待った。この間に、[ オ ]。B室内の気体の絶対温度は[ カ ]となった。また、コックを開く直前に比べて、コックを開いた後のA室の圧力の変化がΔPaであり、B室の圧力の変化がΔPbであるとすると、ΔPa/ΔPb=[ キ ]である。  最後に、コックを閉じ、両方のピストンの固定を解除して、新たなつり合いの高さまでゆっくりと移動させた。その結果、下側のピストンは固定を解除する前と同じ位置で、上側のピストンは固定を解除する前よりも高い位置で静止した。この時の気体の内部エネルギーは、この操作を行う前と比べて[ ク ]。また、ヒーターで加えた熱量Qは[ ケ ]に等しいことが分かる。  それで、以上の答えが、 c:(Po=)2mg/S, ア:nRTo/Po, イ:2, ウ:2Q/3nR, エ:2QPo/3nRTo, オ:A室からB室へ、n/3モルの気体が移動した, カ:(To+T1)/2, キ:-1/2 ク:A室内では変わらず、B室内では減少している, ケ:3nRTo/2  とのことです。設問イと、オ~ケについて根拠がわかりません。解説よろしくお願いします。

みんなの回答

  • yokkun831
  • ベストアンサー率74% (674/908)
回答No.2

>最後のQについて、なぜ気体が2nモルなのでしょうか。 コックを開けて一様になるまで待った操作において,Qによって増加したA内の内部エネルギーは,A,B全体に拡散しました。Bの方は最終的に外部に仕事をしてしまったので,その仕事量を与えられない限り,増加した内部エネルギーを知ることができませんが,Aの方はたまたま上部のピストンの位置が変わらず,仕事(および熱)の出入りがなかったので,状態方程式によって初期状態と比べることで温度がわかり,温度上昇分で内部エネルギーの増加分が判明しました。同じ割合でBにもその増加分が拡散していたはずだと考えるのです。

  • yokkun831
  • ベストアンサー率74% (674/908)
回答No.1

設問イ Pa = P0 = 2mg/S,Pb = mg/S = P0/2 V = Va = nRT0/P0 Vb = nRT0/Pb ∴Vb/Va = P0/Pb = 2 したがって,コックを開いて一様になった後のA,B内の気体の物質量na,nbについて nb/na = Vb/Va = 2 na + nb = 2n ∴na = 2n/3,nb = 4n/3 →オ エネルギー保存により 3/2・nRT0 + 3/2・nRT1 = 3/2・2nRT ∴T = (T0 + T1)/2 →カ コックを開く前について Pa'V = nRT1 Pb'2V = nRT0 コックを開いた後について P・3V = 2nRT ∴P = nR/V・(T0+T1)/3 したがって ΔPa = P - Pa' = nR/V・(T0-2T1)/3 ΔPb = P - Pb' = nR/V・(2T1-T0)/6 ∴ΔPb/ΔPa(???) = -1/2 →キ 熱力学第1法則により ΔUa = Qa + Wa = 0(∵Qa=Wa=0) ΔUb = Qb + Wb < 0 (∵Qb=0,Wb<0)→ク Aの最終状態 P0V = 2n/3・RT ∴T = 3/2・T0 ∴Q = 3/2・2nR(T-T0) = 3/2・nRT0 →ケ となると思います。

rei_70
質問者

お礼

大変わかりやすく説明していただきありがとうございます。 申し訳ないのですが、最後のQについて、なぜ気体が2nモルなのでしょうか。 理解度が悪く申し訳ありません。

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