余角の公式sin((π/2)-x) = cos(x)を計算で証明する方

質問

余角の公式sin((π/2)-x) = cos(x)を計算で証明する方法はありますか
加法定理無しで。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

複素平面の単位円を利用して
x座標とy座標とできる直角三角形の辺の比と
直角三角形におけるsin,cosの定義を使って証明すれば
良いでしょう。

参考：単位円による三角関数の定義
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/courses/basic/apdx1.pdf
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0

参考URL：

http://www.asp.c.dendai.ac.jp/courses/basic/apdx1.pdf

補足

図で 0 <= θ <= 90 の時は成り立つとわかったのですが
それ以外の場合のときの証明をお願いします。

回答No.2

BookerL

加法定理を使わないのであれば、オイラーの公式

　ｅ^iθ ＝ cosθ ＋ ｉ･sinθ

を使うと、どうでしょう。

ｅ^i(π/2 － ｘ) ＝ ｅ^iπ/2 ･ ｅ^-ix　　より

左辺 ＝ cos(π/2 － ｘ) ＋ ｉsin(π/2 － ｘ)

右辺 ＝ ｛ cos(π/2) ＋ ｉsin(π/2) ｝･｛ cos(-x) ＋ ｉ･sin(-x) ｝
　　 ＝ ｉ･｛ cos(x) － ｉ･sin(x) ｝
　　 ＝ ｉ･cos(x) ＋ sin(x)

左辺 ＝ 右辺 なので、実数部分を比較して　cos(π/2 － ｘ) ＝ sin(x)

お礼

ありがとうございます

回答No.1

alice_38

この手の基本的な公式を、
きちんと証明になるように示すには、
そこに登場する用語の定義を
確認/統一しておくことが重要です。

三角関数の定義のしかたには
実に様々なバリエーションがあり、
定義が違えば、証明すべき内容は変わります。

貴方にとっての、sin, cos の定義は？