数学の数列

質問

二次関数fn<x>は（ｎ＝１、２、３……>は
f1（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ+2）　
ｆｎ+1=（ｘ－1）fｎ’（ｘ）
を満たすとする

fｎ（ｘ）を求め

放物線ｙ＝ｆｎ（ｘ）が定直線上にあることを示せ

という問題なのですが
自分は数学的帰納法でやろうとしたところ失敗に終わり
友達に数列でやる問題だといわれました

どうやってやるのかどのような方法でもいいので

ヒントでもかまいませんので教えて下さい

回答No.11

noname#108210

>この平方完成とても計算が重いんですが

平方完成などしないで，問題の特徴をうまく使えば，
fn'(x)=f_n+1(x)/(x-1)　ですから，
fn'(x)=0 を解いて，x=1-3/2^n
これを　fn(x)に代入して，
fn(1-3/2^n)
=(-3/2^n){2^(n-1)(1-3/2^n)+3-2^(n-1)}
=-9/(2^(n+1))

X=1-3/2^n
Y==-9/(2^(n+1))
から，Y=3(x-1)/2
を得られます。

回答No.10

alice_38

No.1 の明確な解答方針が、「あいまい」としか
映らなかったことは、とても残念。
それなら、No.4 No.8 のように
答案を丸教えしてもらうしかなかろう。

平方完成が面倒臭いとのことだが、
頂点を結ぶ直線を求めるには、
An,Bn の一般項の具体的な表式を
経由する必要はない。
y = fn(x) の頂点の座標 (Xn,Yn) を、
An,Bn を含む式で表し、それを解いて、逆に
An,Bn を Xn,Yn を含む式で表す。
これを、No.1 No.3 の解法で得られた
An,Bn の連立漸化式へ代入すれば、
Xn,Yn の連立漸化式が得られる。
その式をグッと睨むと、Xn,Yn の一次式で
値が n に依らない定数となるものを
みつけられないか？

回答No.9

tksmsysh

No.7です。一部訂正があります。申し訳ありません。

下から4行目
誤：-6a+b=0
正：-6a+9=0

回答No.8

info22_

#2です。

A#2の補足質問の回答
>類推はだめだといわれました
>類推した上で数学的帰納法をする必要があるそうです

nを増加していった式を比較して
規則性を類推すると
#4さんが書かれていますが
fn(x)=(x-1){2^(n-1)x+3-2^(n-1)} …(A)
が出てきます。

これを数学的帰納法で証明すれば良いでしょう。
1°) n=1のとき (A)は
　f1(x)=(x-1)(x+2)
で成立している。
2°) n=kの時(A)が成立していると仮定すると
　fk(x)=(x-1){2^(k-1)x+3-2^(k-1)}
この時
　f(k+1)(x)=(x-1)fk'(x)
=(x-1)[{2^(k-1)x+3-2^(k-1)}+(x-1){2^(k-1)}]
=(x-1)[(2^k)x+3-2^k}
n=k+1の時も（A)が成立する。
1°) と 2°)から数学的帰納法により(A)が 任意の整数n(≧1)につて成立する（証明終わり）。

(A)を変形して
y=fn(x)=(x-1){2^(n-1)x+3-2^(n-1)}
={2^(n-1)}{x-1+6*2^(-n)}^2+1-3*2^(-n)　…(B)
頂点の座標(x,y)は
x=1-6*2^(-n), y=1-3*2^(-n)
nを消去すると
y=(3/2)(x-1)　…(C)
よって、nの如何にかかわらず(A)すなわち(B)の頂点(x,y)は
定直線（C)上にある。

回答No.7

tksmsysh

(1)
命題「fn(x)はxの2次式である」ことを数学的帰納法で示す。
(i)n=1のとき
f1(x)=(x-1)(x+2)は明らかにxの2次式である。
(ii)n=kのとき命題が真であると仮定する。
このとき、fk(x)は2次式であるから、fk'(x)は1次式となる。
fn(x)の定義式より、f(k+1)(x)=(x-1)fk'(x)
よって、f(k+1)(x)も2次式である。
(i)(ii)より、命題はすべてのnに対して真である。

ところで、fn(x)は(x-1)を因数にもつ。(∵fn(x)の定義式)
ここで、命題「数列{an}、{bn}を用いて
fn(x)=(x-1)(an*x+bn)
と表せる」ことを数学的帰納法で示す。
(i)n=1のとき
f1(x)=(x-1)(x+2)より、a1=1、b2=2と定めればよい。
(ii)n=kのとき、命題が真であるとする。
f(k+1)(x)=(x-1)fk'(x)
=(x-1)(2ak*x-ak+bk)
よって、a(k+1)=2ak、b(k+1)=-ak+bkと定めればよい。
(i)(ii)より、命題はすべてのnに対して真である。

上記の帰納法で出てきた漸化式より、
an=2^(n-1)、bn=3-2^(n-1) (n=1,2,3,…)
従って、fn(x)=(x-1)[{2^(n-1)}x+3-2^(n-1)]　……(答)

(2)(1)で得られたfn(x)を平方完成して、
fn(x)={2^(n-1)}[x+{-1+3/(2^n)}]-9/{2^(n+1)}
よって、fn(x)の頂点は(-1+3/(2^n),-9/{2^(n+1)})
である、この点をPとする。
明らかに点Pは軸上にないので、求める定直線を
y=ax+b (a≠0)
とおける。これが点Pを通る時、
-9/{2^(n+1)}=a*{-1+3/(2^n)}+b
⇔(a+b)2^(n+1)-6a+9=0　……(☆)
(☆)がすべてのnに対して成り立つためには、
a+b=0
-6a+b=0
よって、a=3/2、b=-3/2
従って、求める定直線の方程式は、
3x-2y-3=0　……(答)

回答No.6

naniwacchi

こんばんわ。

何か等式や不等式を示すのであれば、帰納法ではできますが、
いまは頂点の列が直線上に並ぶという内容なので帰納法を使うのは難しいです。

少しうまい（？）変形をすると、計算が楽になります。
f1(x)について
f1(x)
= (x-1)(x+2)
= (x-1)(x-1+3)
= (x-1)^2+ 3*(x-1)

[(x-1)^2] '= 2* (x-1), [x-1] '= 1であることを用いると
（微分した後に、微分で減らされた「x-1」をかけていると見れば）
f2(x)= 2*(x-1)^2+ 3*(x-1)
f3(x)= 4*(x-1)^2+ 3*(x-1)
・・・
fn(x)= 2^(n-1)*(x-1)^2+ 3*(x-1)
となることがわかります。
（厳密にするには、ここで帰納法を用いてもよいかもしれません。）

x-1をひと固まりとしてみれば（少し見づらくなってるかもしれません）
fn(x)
= 2^(n-1)* { (x-1)^2+ 3/2^(n-1)*(x-1) }
= 2^(n-1)* { x-1+3/2^n }^2- 2^(n-1)* 9/2^(2n)
= 2^(n-1)* { x-(1-3/2^n) }^2- 9/2* 1/2^n

この放物線の頂点は (1-3/2^n, 9/2* 1/2^n)と表されます。
(X, Y)とでもおいて、nを消去（というよりも 2^nを消去）することで直線の式が求まります。

「x-1」がカギになってますね。

回答No.5

nag0720

＃１です。
f1(x)は２次式でしたね。見間違いです、失礼しました。

回答No.4

solution64

規則性から、fn(x)=(x-1)(2^n-1x+3-2^n-1)になると思います。
これは帰納法で証明できます。その後で、fn(x)を平方完成して頂点を求めてみてください。

補足

この平方完成とても計算が重いんですが

なにか入試問題としてテクニックがありそうなのですが・・・

回答No.3

alice_38

No.1 の解法を、
fn(x) = (x - 1)(An x + Bn)
でやってみると、きっと嬉しいことが。

補足

それは自分にも予想できました
このあとどうやってつなげるのかがあいまいです

回答No.2

info22_

f1(x)=(x-1)(x+2)
f2(x)=(x-1)f1'(x)=(x-1){(x+2)+(x-1)}=(x-1)(2x+1)
f3(x)=(x-1)f2'(x)=(x-1){(2x+1)+2(x-1)}=(x-1)(4x-1)
f4(x)=(x-1)f3'(x)=(x-1){(4x-1)+4(x-1)}=(x-1)(8x-5)
f5(x)= ...
と計算し係数の規則性を見つければ
fn(x)が類推できませんか?

>放物線ｙ=fn(x)が定直線上にあることを示せ。
この問題文の意味が通じません。問題文の一部が抜けていないかチェックしなおして、その結果の訂正等を補足に書いて下さい。

補足

すみません御指摘のとおり

放物線ｙ=fn(x)の頂点が定直線上にあることを示せ

です。

類推はだめだといわれました
類推した上で数学的帰納法をする必要があるそうです

数列ならやらなくていいそうなんですが・・・