平面：z=x-yの表面積

質問

平面：z=x-yの領域D={(x,y)|0<=y<=y<=1}上にある部分の表面積を求める問題なのですが、平面なので曲面積の公式を利用してもうまくいきません。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。
平面：z=x-yの場合は
∂z/∂x=1,∂z/∂y=-1
なので
√{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1}=√3
と定数になります。
これであっています。

>D={(x,y)|0<=y<=x<=1}
なので
∬[D] √3dxdy
=(√3)∫[0,1]{∫[0,x] 1dy}dx
=(√3)∫[0,1] xdx
=(√3)(1^2)/2=(√3)/2
となります。

#2さんの結果と同じですが...

お礼

なるほど、途中はあっていて領域Ｄはそのように解釈すればよいんですね。

ありがとうございます。

回答No.4

info22_

#2です。

A#2の補足です。

z=x-y=f(x,y)
つまり、zはxとyの2変数関数なので
>√{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1}=√3
と書くのは間違いで
√{(∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2 + 1}=√3
と書かないといけませんね。

回答No.2

tksmsysh

>表面積A=∬D √{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1} dxdy
でやったのですが、√{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1}=√３　となってしまうのでしっくりこないという状況です。

問題ないでしょう。√{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1}が定数(今回は√3)になるのはz=x-yが平面である証と言ってもいいでしょう。
結局求める表面積Aは、
A=∬D √{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1} dxdy
=(√3)∬D dxdy
となり、あとは∬D dxdy、つまり領域Dの面積を求めればよく、Dは点(0,0),(1,0),(1,1)を頂点とする直角三角形となるので、
A=(√3)*1*1*(1/2)
=(√3)/2
です。

お礼

平面の場合は定数になるんですね。
領域Ｄが直角三角形になることに気づきませんでした。

ありがとうございます。

回答No.1

info22_

>領域D={(x,y)|0<=y<=y<=1}
これ間違っていませんか？

D={(x,y)|0<=x<=y<=1}
または
D={(x,y)|0<=y<=x<=1}
のどちらかではないですか？

>平面なので曲面積の公式を利用してもうまくいきません。
うまくいかないことないと思います。
やった途中計算が書いてないのでチェックできません。
どうやったのか、途中計算を補足に書いて下さい。

補足

申し訳ありません。領域はD={(x,y)|0<=y<=x<=1}です。

z=x-yをzに関してxとyで偏微分して、
表面積A=∬D √{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1} dxdy

でやったのですが、√{(dz/dx)^2 + (dz/dy)^2 + 1}=√３　となってしまうのでしっくりこないという状況です。