0<R<1 であるRについて、(2-R)^n/(2-R^n) >1を証

質問

0<R<1 であるRについて、(2-R)^n/(2-R^n) >1を証明したいのですが？
n>=1の整数です。

回答No.4

naniwacchi

#1です。

補足ありがとうございます。
等号が入っていれば、n= 1も示されますね。

不等式の証明について、ヒントを少しだけ。
n= kのときを仮定すると、(2- R)^k＞ 2- R^k
n= k+1のとき
(2- R)^(k+1)
＝ (2- R)^k* (2- R)
＞ (2- R^k)* (2- R)＝ 2- R^(k+1)+(なんとか)

(なんとか)の部分をうまく示せば、証明は終わります。

回答No.3

LightOKOK

n≧2　とします。

0<R<1　なので　0<R^n<1
これから、2-R^n>0
したがって、f(R)=(2-R)^n-(2-R^n)　とおき、f(R)>0　を示す。
f'(R)=n{R^(n-1)-(2-R)^(n-1)}
ここで、R<(2-R) であるから、R^(n-1)<(2-R)^(n-1)
したがって、0<R<1　で　f'(R)<0。
f(1)=0　だから、0<R<1　で　f(R)>0.

お礼

なるほど。
帰納法以外こんなアプローチあったんですね。

回答No.2

yasei

n=1で成り立たない。

回答No.1

naniwacchi

0＜ R＜ 1なので、0＜ R^n＜ 1です。
証明したい不等式を示すには、(2- R)^n＞ 2- R^nであることが示されればよいです。

ところが、n= 1では成立しません。
不等号ではなく、等号が成立します。

n≧ 2の場合ですが、数学的帰納法で証明できます。
[i] n= 2のときを証明し、
[ii] (2- R)^k＞ 2- R^k（k≧ 2）を仮定して、(2- R)^(k+1)＞ 2- R^(k+1)を証明します。

そんなに難しい変形にはならないと思います。

補足

不等式に誤りがありました。
(2-R)^n >= 2-R^nでした。