フーリエ正弦級数の問題なんですが

質問

学校で出された問題なんですが、解けなくて困ってます。

次の関数のフーリエ正弦級数を求めよ。
f(x)=x(0≦x≦π/2),π-x(π/2＜x≦π)

どなたか教えていただけるとありがたいです。

回答No.3

ere_Elba · ベストアンサー

f(x)は奇関数なので、
f(x)=Σ[n:1～∞]{b_n・sin(nx)}
と展開できるとする。
ただし、
b_n=(2/π)∫[x:0～π]f(x)・sin(nx)}dx、(n=1,2,3,・・・)

b_n=(2/π)∫[x:0～π]f(x)・sin(nx)dx
=(2/π)∫[x:0～π/2]x・sin(nx)dx
+(2/π)∫[x:π/2～π](π-x)・sin(nx)dx

第一項は、
(2/π)・(1/n)・[x・{-cos(nx)}][x:0～π/2]
　-(2/π)・(1/n)・∫[x:0～π/2]1・{-cos(nx)}dx
=(2/π)・(1/n)・[-(π/2)・cos{n・(π/2)}-{-0・cos(n・0)}]
　-(2/π)・(1/n)^2・{-sin(nx)}[x:0～π/2]
=(2/π)・(1/n)・{-(π/2)・cos(nπ/2)}
　-(2/π)・(1/n)^2・[-sin{n・(π/2)}-{-sin(n・0)}]
=(2/π)・(1/n)・[{-(π/2)・cos(nπ/2)}+(1/n)・sin(nπ/2)]

nが奇数の時、第一項は消えて
=(2/π)・(1/n)^2・sin(nπ/2)
これは、n=1,5,9,・・・の時、(2/π)・(1/n)^2、であり
n=3,7,11,・・・の時、-(2/π)・(1/n)^2、である。

nが偶数の時、第二項は消えて
=-(1/n)・cos(nπ/2)
これは、n=4,8,12・・・の時、-1/n、であり
n=2,6,10,・・・の時、1/n、である。

第二項は、
(2/π)・(1/n)・[(π-x)・{-cos(nx)}][x:π/2～π]
　-(2/π)・(1/n)・∫[x:π/2～π](-1)・{-cos(nx)}dx
=(2/π)・(1/n)・【{-(π-π)・cos(nπ)}-[-{π-(π/2)}・cos{n・(π/2)}]】
　+(2/π)・(1/n)^2・[-sin(nx)][x:π/2～π]
=(2/π)・(1/n)・[{-0・cos(nπ)}+(π/2)・cos{n・(π/2)}]
　+(2/π)・(1/n)^2・【-sin(nπ)-[-sin{n・(π/2)}]】
=(2/π)・(1/n)・[{(π/2)・cos(nπ/2)}+(1/n)・{-sin(nπ)+sin(nπ/2)}]

nが奇数の時、第一項と第二項の前半部は消えて
=(2/π)・(1/n)^2・sin(nπ/2)
これは、n=1,5,9,・・・の時、(2/π)・(1/n)^2、であり
n=3,7,11,・・・の時、-(2/π)・(1/n)^2、である。

nが偶数の時、第二項は消えて
=(1/n)・cos(nπ/2)
これは、n=4,8,12・・・の時、1/n、であり
n=2,6,10,・・・の時、-1/n、である。

故に、b_nは、
n≡0(mod 4)の時、b_n=-1/n+1/n=0
n≡1(mod 4)の時、b_n=(2/π)・(1/n)^2+(2/π)・(1/n)^2=(4/π)・(1/n)^2
n≡2(mod 4)の時、b_n=1/n-1/n=0
n≡3(mod 4)の時、b_n=-(2/π)・(1/n)^2-(2/π)・(1/n)^2=-(4/π)・(1/n)^2

従って、
f(x)=Σ[n:1,5,9,・・・～∞][(4/π)・(1/n)^2・sin(nx)]
+Σ[n:3,7,11,・・・～∞][-(4/π)・(1/n)^2・sin(nx)]
=(4/π)・{1^2・sin(x)-(1/3)^2・sin(3x)+(1/5)^2・sin(5x)-(1/7)^2・sin(7x)+・・・}

お礼

わざわざ図まで付けていただいてありがとうございました。
２πに拡張するのが一般だということでこちらを良回答にさせていただきます。助かりました。

回答No.4

alice_38

f は、遇関数でも奇関数でもない。
周期関数でもありません。
周期 π の遇関数になるように定義域を拡張
すれば、♯1,2 のようになり、
周期 2π の奇関数になるように定義域を拡張
すれば、♯3 のようになります。

正弦展開せよと言われれば、普通は ♯3 のように
するのですが、
定義域を拡張したこと、どのように拡張したかは、
明記しておいた方がよいでしょう。

お礼

なるほど、拡張には二つの方法があるのですね。
明記しておきます、ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　誤記がありましたので、訂正します。

＞　（大雑把に見ますと、ｙ＝１／２　を軸とした　振幅１／２　のコサインカーブをｙ＝１／２で反転させたものと見なせますので。）

（正）（大雑把に見ますと、ｙ＝π／４　を軸とした　振幅π／４　のコサインカーブをｙ＝π／４で反転させたものと見なせますので。）

回答No.1

Mr_Holland

f（x）のグラフを描けば一発ですが、この関数のフーリエ正弦級数は　０　になります。
　（大雑把に見ますと、ｙ＝１／２　を軸とした　振幅１／２　のコサインカーブをｙ＝１／２で反転させたものと見なせますので。）

　計算で求める場合は、周期πのときのフーリエ正弦級数の式に代入して、積分の計算をすればOKです。

（公式）　周期０～πの関数のフーリエ正弦級数
　b_n＝2/π ∫[0→π] f(x) sin(2nx-nπ) dx
　　　＝2/π ∫[0→π] f(x) sin(2nx) (-1)^n dx

b_n＝2/π ∫[0→π] f(x) sin(2nx) dx
　　＝2/π ∫[0→π/2] f(x) sin(2nx) (-1)^n dx + 2/π ∫[π/2→π] f(x) sin(2nx) (-1)^n dx
　　＝2/π ∫[0→π/2] x sin(2nx) (-1)^n dx + 2/π ∫[π/2→π] (π-x) sin(2nx) (-1)^n dx
　　＝2/π ∫[0→π/2] x sin(2nx) (-1)^n dx - 2/π ∫[0→π/2] x' sin(2nx') (-1)^n dx'　　（ただし x'=π-x)
　　＝０

お礼

早期回答ありがとうございます。
今回は＃３の方の方法を使わせていただきますが、他の解法として試験勉強にとても参考になりました。助かります。