解析系の問題（証明）

質問

図(1)を示したいのですが、(1)の指示の通りに両辺を積分してlogの中身の比較をすると、(2)のようになってしまいます。（積分が間違っていなければ）

近い形にはなるのですが、結果の形になりません。
この後どのようにすればよいのですか？
教えてください。よろしくお願いします！

回答No.3

Ae610 · ベストアンサー

πcosπx/sinπx－1/x＝Σ(n=0～∞)2x/(x^2-n^2)・・・(1)
は
πcosπx/sinπx－π/πx＝Σ(n=0～∞)-2x/(n^2(1-(x^2/n^2)))・・・(2)
と見る事が出来るので、(2)の両辺を積分
∫(πcosπx/sinπx－π/πx)dx
＝∫｛Σ(n=0～∞) -2x/(n^2(1-(x^2/n^2)))｝dx
log(sinπx)－log(πx)
＝log(sinπx/πx)
＝Σ(n=0～∞)∫{-2x/(n^2(1-(x^2/n^2)))｝dx
＝Σ(n=1～∞)log(1-(x^2/n^2))
＝log(Π(n=1～∞)(1-(x^2/n^2))
よって
sinπx/πx＝Π(n=1～∞){1-(x^2/n^2)}

お礼

途中式まで、丁寧に書いていただきありがとうございます！

見方を少し変えるだけで解決する問題でしたね。
また、何か分からないことがあったときにはよろしくお願いします。

回答No.2

alice_38

書き損じ:
「Πn~2 で割ってあれば」

回答No.1

alice_38

画像の字が小さくて、よく見えないのですが…

手書きの右辺は、総積が収束しないから、
明らかに変です。

積分してから log の中身を比較したのなら、
積分定数の値を間違うと
結果に定数倍の違いがでます。
lim[n→∞] する前に Σn~2 で割ってあれば、
正解と一致しますね。

お礼

ありがとうございます。
確かにそうですね。

少し見方を変えるだけで解決しました！