数IIIの定積分の不等式の証明問題を教えてく下さい

質問

数IIIの定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

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∫[1,n]log(x) dx＜log1＋log2＋…＋logn＜∫[0,n]log(x+1) dx を証明せよ。

という問題なのですが、この問題って中辺はn-1個の長方形の面積の和で

ｙ＝log(x)とｙ＝log(x+1)のグラフを書けば図より明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できず、正確性に欠ける気もします。

もっと良い証明方法はないでしょうか？分かる方おられましたら何卒ご教授いただければ幸いです。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

n≧2
k=1～n
に対して
k<x<k+1
の時logxは増加関数だから
logk<logx<log(k+1)
↓各辺をk～k+1まで積分すると
∫_{k～k+1}logkdx<∫_{k～k+1}(logx)dx<∫_{k～k+1}log(k+1)dx
logk∫_{k～k+1}dx<∫_{k～k+1}(logx)dx<log(k+1)∫_{k～k+1}dx
logk<∫_{k～k+1}(logx)dx<log(k+1)
↓各辺をk=1～nまで加えると
Σ_{k=1～n}logk<Σ_{k=1～n}∫_{k～k+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n}log(k+1)
Σ_{k=1～n}logk<∫_{1～n+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n}log(k+1)
Σ_{k=1～n}logk<∫_{1～n+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n+1}logk…(1)
↓左辺と中辺から
Σ_{k=1～n}logk<∫_{1～n+1}(logx)dx
↓∫_{1～n+1}(logx)dx=∫_{0～n}log(x+1)dxだから
Σ_{k=1～n}logk<∫_{0～n}log(x+1)dx
(1)の中辺と右辺から
∫_{1～n+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n+1}logk
nをn-1に置き換えると
∫_{1～n}(logx)dx<Σ_{k=1～n}logk
↓これとΣ_{k=1～n}logk<∫_{0～n}log(x+1)dxから
∴
∫_{1～n}(logx)dx<Σ_{k=1～n}logk<∫_{0～n}log(x+1)dx

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

補足

すごいです！！ありがとうございます。感謝申し上げます。！！

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

グラフによる証明とほぼ同等ですが、不等式

∫[k-1,k] log x dx < ∫[k-1,k] log k dx（k=2,3,...,n）
∫[k,k+1] log k dx < ∫[k,k+1] log x dx（k=1,2,...,n-1）

が成立することを述べ（log xの単調増加性より）
kについての和をとる、とすることでよいかと思います。