大学幾何学

質問

大学幾何学

xはユークリッド空間E^3の任意のベクトルである。
ベクトルxが単位ベクトルeに垂直であれば、
(e×x)×e=x
が成り立つことを示せ。

お力添え、よろしくお願いいたします。

回答No.2

kabaokaba

外積の意味を考えればほとんど自明でしょう
図を書けばいいわけです.

e×xはeとxに垂直なベクトルで，
e,x,e×xの順番で右ねじの方向になるものです．
そうすると
(e×x)×eは，e×xとeに垂直で
e×x，x，(e×x)×eの順番で右ねじの方向になります．
一方，eとxが垂直であるので，
e,x,e×xはどの二つも垂直になる．
一方，(e×x)×e，e，e×xもどの二つも垂直になり
三次元で考えているから
(e×x)×eはxと平行になり，
さらに右ねじの関係であることを考慮すれば
向きも同じである
さらに，eが単位ベクトルで，垂直の関係を考えると
|e×x|=|x|
なので，(e×x)×eはxと長さも等しい.
よって，(e×x)×e=x

計算ずくでいくなら，
e=(1,0,0)，x=(0,a,0)とでもして一般性を失わないことを
示してしまえば，ほとんど自明.
この一般性を失わないことの証明は
外積の線型性とベクトル空間の基底の議論で証明できます.

回答No.1

nag0720

x=(x1,x2,x3)
e=(e1,e2,e3)
とおくと、
ベクトルeは単位ベクトルなので、
e1*e1+e2*e2+e3*e3=1
ベクトルxとベクトルeが垂直なので、
e1*x1+e2*x2+e3*x3=0

以上を条件に、
(e×x)×e
を計算するだけです。