高１冬休みの宿題なんですが、

質問

高１冬休みの宿題なんですが、
やり方が全くわからないのでヒントだけでもどうかお願いします。

k,l,mを定数とし、関数f(x)=kx2+lx+mとする。
関数g(x)は関係式x2f(x)=(x-2)g(x)を満たし、g(x)+4は(x-2)2で割り切れるとする。

(1) 4k+2l+m の値を求めよ。
(2) k,l,m の値を求めよ。

※文字や（）の後ろの2は２乗を表しています。

親切な方、どうかお願いします。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

f(x)＝kx^2＋lx＋m　と
x^2f(x)＝(x－2)g(x)　により
x^2(kx^2＋lx＋m)＝(x－2)g(x)
です．したがって，g(x)は

(kx^4＋lx^3＋mx^2)/(x－2)＝g(x)

と書けます．g(x)＋4 は (x－2)^2 で割り切れるのですから
(kx^4＋lx^3＋mx^2)/(x－2)＋4＝g(x)＋4
の右辺を　g(x)＋4＝(ax＋b)(x－2)^2　と仮定すると
(kx^4＋lx^3＋mx^2)/(x－2) ＋ 4＝(ax＋b)(x－2)^2
となります．ax＋b　の a と b は任意の定数です．
なぜ，g(x)＋4＝(ax＋b)(x－2)^2　仮定するかというと
(kx^4＋lx^3＋mx^2)/(x－2)＋4＝g(x)＋4
の式を変形して
kx^4＋lx^3＋mx^2 ＋ 4(x－2)＝(ax＋b)(x－2)^3
なったとき，右辺と左辺の　x　の最も大きい次数を同じにするためです．
kx^4＋lx^3＋mx^2 ＋ 4(x－2)＝(ax＋b)(x－2)^3
を展開して，整理すると

kx^4＋lx^3＋mx^2 ＋ 4x－8＝ax^4＋(b－6a)x^3＋(12a－6b)x^2＋(12b－8a)x－8b

となります．右辺と左辺の各項の係数を比較して，この等式が成り立つようにすると

k＝a
l＝b－6a
m＝12a－6b
4＝12b－8a
－8＝－8b

です．あとの２つの式から
a＝1
b＝1
が得られます．したがって，　ax＋b＝x＋1　です．
そして，k，l，m は，

m＝6
l＝－5
k＝1

となります．したがって，答えは，

(1)　4k＋2l＋m＝0
　計算： 4k＋2l＋m ＝4・1＋2・(－5)＋6 ＝4－10＋6＝0

(2)　k＝1,　l＝－5,　m＝6

です．因みに，f(x)　と　g(x)は

f(x)＝x^2－5x＋6
g(x)＝x^2(x－3)

となります．　　　　　以上です．

お礼

ありがとうございます！

とてもわかりやすかったです。

回答No.1

gohtraw

（１）
ｆ（ｘ）をよく見ると、４ｋ＋２ｌ＋ｍ＝ｆ（２）であることが判ります。与えられた条件からｆ（ｘ）＝（ｘ－２）ｇ（ｘ）／ｘ＾２
なのでｆ（２）は・・・？

（２）
ｘ＾２＊ｆ（ｘ）はｘについて４次なのでｇ（ｘ）はｘについて３次になります。そこで
ｇ（ｘ）＋４＝（ａｘ＋ｂ）（ｘ－２）＾２とおくと
ｇ（ｘ）＝（ａｘ＋ｂ）（ｘ－２）＾２－４　なのでこれを
ｘ＾２ｆ（ｘ）＝（ｘ－２）ｇ（ｘ）　に代入します。
あとは両辺を展開して係数を比較すればｋ、ｌ、ｍが判ります。