場合の数、確率を教えてください。

質問

場合の数、確率を教えてください。
問)10人の部員の中から兼任を認めないで部長、副部長、会計の各一人を選ぶ方法は何通りあるか。

A回答)
　単純に10人の中から3人を取り出すのだから10C3=120通り
　実はよくわかりませんが、そんな気がするだけです。
　幾つかの中から幾つかを取り出すのは組み合わせだと思ってやりました。
　たぶん、これが正解の気がします。

B回答)
　10人の中から3人を取り出して並べる?から10P3=720通り
　順番があれば順列ですよね。この場合は順番ではないから10P3ではないような気もします。

C回答)
　わかりにくいので下のように書いてみました。
　1氏　2氏　3氏　4氏　5氏　6氏・・　　10氏
　部　　副　会　　　　　　　　　　　　　　　1通り目
　部　　　　副　　会　　　　　　　　　　　　2通り目
　部　　　　　　　副　会　　　　　　　　　　3通り目
　部　　　　　　　　　副　会　　　　　　　　4通り目

　んー、わかり易いんですけどきりがない。

D回答)
　10人の中から部長を決める決め方は10通り
　残りの9人の中から副部長を決める決め方は9通り
　更に残り8人の中から会計を決める決め方は8通り
　10×9×8=720通り
　間違っていそうなB回答と同じになってしまいました。
　そんなやり方がどこかにあったような記憶から、このように書いて見ました。

ア疑問)
　でも、D回答で一つずつ減らしていって何通りとしていっていいんでしょうか。
　問題は一気に3人を選ぶ選び方をせよといっている気がするのですが。

イ疑問)
　というより、場合の数は大体、乗算でやっているから
　10×9×8　
　にしましたが、なぜ
　10+9+8　
　ではないのでしょうか。
　よく疑問に思いますが、逆に10+9+8が正解だとするとどのような設問になるのでしょうか。

ウ疑問)
　部長、副部長、会計とも兼任を認めた場合はD回答でいくと
　10人の中から部長を決める決め方は10通り
　残りの9人の中から副部長を決めるのではなく部長になった人も含めて副部長になれるのだから
　決め方は10通り
　更に部長が副部長や会計も兼任できるのだから10人の中のだれでもいいから決め方は10通り
　10×10×10=1000通り
　これでいいですか。
　というより、また、同じ疑問ですが
　10+10+10
　にはなぜならないのですか。

場合の数と確率は混沌の世界に入ってしまいます。
わかりやすく、考え方を教えていただくとありがたいです。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

組合せ・順列（確率）の問題は、選び方・並べ方といった考え方によって
いろいろな回答が出てきます。

それぞれの回答についてですが、

・「Ｂ回答」と「Ｄ回答」は同じことを述べています。
・「Ａ回答」は、いわゆる「役員」を選出しただけで、それぞれの役職までは選ばれていないことになります。
このあと、選ばれた 3人を順番に並べる必要があるので、この考え方での組合せは
10Ｃ3×3Ｐ3＝ 10Ｐ3とおり
となります。
・「Ｃ回答」は、地道に数えていくということですよね。

「イ疑問」と「ウ疑問」で、足し算とかけ算の違いを書かれていますが、
先に回答されているとおりです。
・組合せを「足し算」するので、「同時におこらない事柄」についてです。
たとえば、「さいころを振って、１～３がでるのは何とおり？」といったときは、
「１が出るとき（１とおり）」
「２が出るとき（１とおり）」
「３が出るとき（１とおり）」
は「同時におきない」ので、加えて 3とおりとなります。

・「かけ算」になるのは、「別々におこる事柄がそれぞれおこる」についてです。
いまの問題は、「部長」が選ばれることと「副部長」が選ばれることは別々です。
ただし、部長が選ばれた後に副部長を選ぶので、選び出す人数が変わっています。

お礼

ありがとうございます。
10Ｃ3は10人の中から「役員」を3人選出しただけというのはわかりました。

でも、その中から部長、副部長、会計の3人を並べる必要があるから3P3 ?
分類する必要はあるけど、並べる必要はないのでは・?　と思いました。

「同時におこらない」時は「足し算」と教えてもらいましたが、
そうすると「同時におこる」時が「かけ算」と考えてしまいました。
そのほうがわかり易いのですが
「かけ算」になるのは、「別々におこる事柄がそれぞれおこる」
んー、わかりません。
部長、副部長、会計と同時に選ぶんじゃなくて、次々に選んでいくから
「同時におこらない」→「足し算」
ということになるのではと思いました。

ありがとうございました。

回答No.2

arashi1190

B回答の７２０通りが正解だと思います。
考え方はD回答のとおりです。

A回答の場合、例えば１氏，２氏，３氏の３名が選ばれた場合、その３名の中で部長，副部長，会計の役割を決める必要があります。
その組み合わせは、
部長　副部長　会計
１氏　２氏　　３氏
１氏　３氏　　２氏
２氏　１氏　　３氏
２氏　３氏　　１氏
３氏　１氏　　２氏
３氏　２氏　　１氏
の６通りあります。
従って、A回答の１２０通りＸ６＝７２０通り
となります。

お礼

10人の中から3人を選ぶのは10C3=120でわかりました。
３名の中で部長，副部長，会計の役割を決める決め方は6通り。これもわかりました。
ここでなぜ
１２０通り+６ではなくて
１２０通りＸ６
なのかなとおもいました。
同時に起こらない場合は和の法則。
「10人の中から3人を選ぶ」事柄と
「選ばれた3人を部長，副部長，会計と並べる」事柄は
同時に起こらないから、和の法則のような気がします。

ありがとうございました。

回答No.1

LightOKOK

回答では、３人を選んだだけで、だれが部長かなど決まりません。
B回答が正解です。「部長」、「副部長」、「会計」
と書いたカードの前に、選んだ人を並ばせるので、順列になります。
D回答も同じで正解です。C回答でも解答は得られますが、すべてや
るのは大変ですよね。

ア）疑問について、
>問題は一気に3人を選ぶ選び方をせよといっている
順列として選べば良いです。

イ）疑問について
「順列」、「組合わせ」を学ぶ前に、「積の法則」や「和の法則」
というのを勉強したはずです。もう一度、復習してみてください。

ウ）疑問、兼任できるときは、10×10×10=1000通り
でいいです。

数字のかけ算になるのは、「部長」の決まり方の’それぞれ’に、
「副部長」の決まり方があるからです。

お礼

Ａ回答　10C3 は
「３人を選んだだけで、だれが部長かなど決まりません。」
そういわれるとわかりました。

『「部長」、「副部長」、「会計」と書いたカードの前に、選んだ人を並ばせるので、順列になります。』
んー、

1氏　2氏　3氏　4氏　5氏　6氏　7氏　8氏　9氏　10氏

　　　　　　　　　　　　↓

　　「部長」　　　　　「副部長」　　　　　　「会計」

　　　1氏　　　　　　　　2氏　　　　　　　　　　3氏
　　　1氏　　　　　　　　3氏　　　　　　　　　　4氏
　　　1氏　　　　　　　　5氏　　　　　　　　　　6氏

違いました。10人の中から3人を選ぶんですね。
その選んだ3人を並ばせる・・
ということはANo.2と同じですね。

和の法則・・同時に起こらない場合m+n通り→わかります。
積の法則・・同時に起こる場合と書かれていればわかりやすいのですが
　　　　　　「事柄Aの起こり方がm通りあり、その≪おのおのについて≫事柄Bの起こり方がn通り≪ずつ≫
　　　　　　あるとき、A、Bが≪ともに≫起こる場合の数は　m×n通り」
　　　　　　んー、≪≫のところでこんがらがっています。

『数字のかけ算になるのは、「部長」の決まり方の’それぞれ’に、
「副部長」の決まり方があるから』
んー、
『’それぞれ’に、』
『決まり方がある』
・・わかりません。