f(x)=Sin^-1 (x) のときf^(n) (0)を求めよ

質問

f(x)=Sin^-1 (x) のときf^(n) (0)を求めよ　（n=0,1,2,…）

この問題の解き方がわかりません。どなたかヒントかアドバイスをください

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。

>これを級数であらわせないですか？

マクローリン級数展開なら
Sin^(-1)(x)=x+(1/6)x^3+(3/40)x^5+(15/336)x^7+ …
=Σ[n=0,∞][(2n)!/{(4^n)(2n+1)(n!)^2}]{x^(2n+1)}
(|x|≦1で収束)
となります。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

回答No.2

Mr_Holland

f(x)=Sin^-1 (x) のべき級数展開が知りたいと言うことでしょうか。
　でしたら、次の式になります。

　Sin^-1 (x) ＝Σ[n=0→∞] (2n-1)!!/{(2n)!!(2n+1)} x^(2n+1)

　ちなみに、f^(n)(0)は次のように表せます。

　　f^(n)(0)＝{(2n+1)!}2

お礼

解答ありがとうございます。

　Sin^-1 (x) ＝Σ[n=0→∞] (2n-1)!!/{(2n)!!(2n+1)} x^(2n+1)
のx^(2n+1)はｎ回微分では消せないようですがどうやって
　f^(n)(0)＝{(2n+1)!}2を求めたのかがわからないです。

回答No.1

info22

f'(x)=1/√(1-x^2)=(1-x^2)^(-1/2)
f''(x)=(-1/2)(-2x)(1-x^2)^(-3/2)=x(1-x^2)^(-3/2)
ただひたすら微分してx=0を代入するだけ。

f(0)=0,f''(0)=0,f^(4)(0)=0, f^(2n)(0)=0 (n=1,2,3,...)
f'(0)=1
f^(3)(0)=1
f^(5)(0)=9
f^(7)(0)=225
f^(9)(0)=11025
f'(11)(0)=893025
　…

お礼

解答ありがとがざいます。
これを級数であらわせないですか？