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背理法の疑問
１√２が無理数であることを証明せよ。 まず√２が無理数でないと、すなわち有理数であると仮定すると √２＝m/nと表される。ｍ＝√２ｎと変形し、両辺を平方するとm^2=2n^2・・・・(2) ゆえにm^2は偶数であるかわからないのに、２n^2は確実に偶数なので矛盾よって無理数としたんですが 答えはさらに続いていました。 なぜ、ここまでで駄目なのでしょうか？？ 教えて下さい
- hohoho0507
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「m^2は偶数であるかわからないのに、２n^2は確実に偶数」は矛盾とはいえません。「偶数であるかわからない」は「偶数であるかもしれない」なので、矛盾とは断言できません。そうではなくて、式（２）よりｍ＾２は偶数にならざるを得ないがそうすると矛盾が生じることを示す必要があります。 初めにｍとｎが互いに素であると規定しておき、式（２）でｍ＾２が偶数であるならばｍも偶数なのでｍ＝２ｍ’と表わされ、これを（２）に代入するとｎ＾２＝２ｍ’＾２となってｎも偶数となる。これは初めに規定したｍとｎが互いに素であることに矛盾する。
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- notnot
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x = 2 という式があったときに、「x の値がわからないのに右辺は2とわかる。故に矛盾」と思いますか？ ＞m^2は偶数であるかわからないのに、２n^2は確実に偶数なので 「故に、m^2は偶数とわかる」 というのがここから直接導けることで、なんら矛盾ではありません。矛盾が出るのはこの先。
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