リーマン面ってどういう形なのですか？

質問

リーマン面という言葉をよく聞きます。
どんな形をしているものなのでしょうか。
また、どういう使い方をするのでしょうか。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

リーマン面というのは、No1さんが掲げたサイトにもあるように、１次元の複素多様体です。１次元と言っても、複素数は２次元ですから、結局は、向き付け可能な２次元実多様体ということになります。複素数というと、ガウス平面を連想しがちですが、そのガウス平面を一般化（拡張）したものがリーマン面だと考えて良いでしょう。
リーマン面はどんな形かと言っても、それは、いろいろな形を取り得ます。たとえば、複素数まで拡張した対数関数は多価関数ですよね。対数関数は解析関数ですから、解析接続することにより、定義域をＣ（複素数全体）まで拡張することができます。しかし、多価関数では不便ですね。こんなとき、「枝」という概念を導入し、ガウス平面を拡張した、リーマン面を構成します。定義域をこのリーマン面に設定すれば、対数関数は１価関数になります。対数関数のリーマン面は、ちょうど、螺旋状の滑り台のような形をしていますね。関数が違えば、当然リーマン面の形が違ってきます。対数関数のリーマン面は紙を切って工作することも可能ですが、関数によっては、必ずしも工作可能なものばかりではありません。平方根のリーマン面などは頭の中だけにしか実現出来ませんよね。

どんな曲面（可微分多様体）がリーマン面になるかは、その多様体に複素構造が導入できることが条件です。

回答No.1

info22

次のURLにリーマン面の形状（クリックすると拡大図やアニメ図が表示される）や詳しい説明がありますのでご覧下さい。使い方や概念は難しいので大学でその専門分野をする必要性が出てきてからやればいいと思います。通常は言葉だけで実際に使うことは殆どありませんね。

http://www.viswiki.com/ja/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2