微分公式について

質問

すいません。
公式の証明についておしえて頂けないでしょうか？
助かります。

f(x),g(x)が微分可能なとき、次の各符号が成り立つ。

(1)
(kd(x))'=kf'(x) (Kは定数）
証明はどのように導けるのでしょうか？

(2)
(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x) (符号同順）
証明はどのように導けるのでしょうか？

(3)
(f(x)・g(x))'=f'(x)・g(x)＋f(x)・g'(x)
について、
(f(x)・g(x))'=lim ｛f(x＋h)・g(x＋h)-f(x)・g(x)｝/h
　　　　　h→0
まではわかるのですが、このあとの
lim ｛f(x＋h-f(x)｝g(x＋h)＋｛g(x＋h)-g(x)｝f(x)/h

はどのようにしてあらわれるのでしょうか？

(4)
(1/g(x))’=-(g(x))/｛g(x)｝＾2 (ただしg(x)キ0)

について
(1/g(x))’=　を計算して
つぎのように表すには

=lim 1/h｛(1/g(x＋h))-1/g(x)｝
　h→0
にはどのようにしてでるのでしょうか？

(5)

(f(x)/g(x))'=｛f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x)｝/｛g(x)｝＾2

は(3)と(4)より導けるそうですが、どのようにして導くのでしょうか？

親切なかたおねがいします。
たくさんあってごめんなさい

回答No.2

fushigichan

aya402さん、こんにちは。

＞(1)
(kd(x))'=kf'(x) (Kは定数）
証明はどのように導けるのでしょうか？

(kf(x))'=kf'(x)ですね。
定義に従って、微分していけばいいです。
分かりやすく、kf(x)=g(x)とおきましょう。

(kf(x))'=g'(x)=lim{g(x+h)-g(x)}/h
　　　　　　　　h→0
=limkf(x+h)-kf(x)}/h
　h→0
=k*lim{f(x+h)-f(x)}/h
　h→0
=k*f'(x)
kは定数ですから、ｈがいくら０に近づこうとも、それに影響されないのがミソです。

＞(2)
(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x) (符号同順）
(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)から考えましょう。
f(x)+g(x)=l(x)とおくと、
(f(x)+g(x))'=l'(x)=lim{l(x+h)-l(x)}/h
　　　　　　　　　　h→0
=lim{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}/h
h→0
=lim{f(x+h)-f(x)}/h+lim{g(x+h)-g(x)}/h
h→0　　　　　　　　h→0
=f'(x)+g'(x)

(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)も同様に、
f(x)-g(x)=l(x)とおけば、証明できますよ。やってみてください。

＞(3)
(f(x)・g(x))'=f'(x)・g(x)＋f(x)・g'(x)
(f(x)・g(x))'=lim ｛f(x＋h)・g(x＋h)-f(x)・g(x)｝/h
　　　　　h→0
まではわかるのですが

なかなか、いいところまで気づいていると思います。
ちょっと工夫してみましょう。

(f(x)・g(x))'=lim ｛f(x＋h)・g(x＋h)-f(x)・g(x)｝/h
　　　　　h→0
=lim{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-f(x)g(x)}/h
h→0
=lim{f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x+h)}/h+lim{f(x)*g(x+h)-f(x)g(x+h)}/h
h→0　　　　　　　　　　　　　　　h→0
=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)

h→0としたときには、g(x+h)→g(x)であるから。
これで、
(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)が証明できました。

＞(4)
(1/g(x))’=-(g(x))/｛g(x)｝＾2 (ただしg(x)キ0)

G(x)=1/g(x)と、おきましょう。
{1/g(x)}'=G'(x)ですから、これを定義に従って微分していきましょう。

G'(x)=lim{G(x+h)-G(x)}/h
　　　h→0
=lim{1/g(x+h)-1/g(x)}/h
h→0
=lim{g(x)-g(x+h)/g(x)g(x+h)}/h
h→0
-g'(x)/{g(x)}^2
これで証明されました。

＞(5)

(f(x)/g(x))'=｛f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x)｝/｛g(x)｝＾2

(3)より、
f(x)/g(x)=f(x)*{1/g(x)}と考えてみましょう。
(f(x)/g(x))'=f'(x){1/g(x)}+f(x){1/g(x)}'
ここで(4)より
=f'(x){1/g(x)}+f(x){-g'(x)}/{g(x)}^2
分母を{g(x)}^2にそろえると、
={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2
となって、(5)が証明されました。

定義に従って、一つ一つ変形していけば、理解できると思います。
頑張ってください。

回答No.1

ONEONE

積の微分法（３）
(f(x)・g(x))'
=lim[h→0]｛f(x＋h)・g(x＋h)-f(x)・g(x)｝/h
=lim[h→0]｛f(x＋h)・g(x＋h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)・g(x)｝/h
（f(x)g(x+h)を引いて足した）・・・１
=lim[h→0]｛f(x＋h)-f(x)｝g(x＋h)／ｈ　　＋　　f(x)lim[h→0]｛g(x+h)-g(x)｝/h
=f'(x)g(x)＋f(x)g(x)

１の操作は微分できる形に持っていくためですね。

商の微分法（５）極限使う方法もある
(f(x)/g(x))'
={f(x)・g(x)^(-1)}'（積の微分法）
=f'(x)g(x)^(-1)－f(x)・{g'(x)・g(x)^(-2)}
=f'(x)／g(x)^(-1)　　－　　f(x)g'(x)／g(x)^(-2)
=f'(x)g(x)／g(x)^(-2)　　－　　f(x)g'(x)／g(x)^(-2)
={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)｝／g(x)＾2

f(x)＝１のとき（４）
または（３）をつかってg(x)^-1でやるとか。

順番違ってはだめですかね？