２つの不等式をみたす整数ｘがただ一つのとき・・・

質問

「2x + 6 >0 ・・・(1)の解は
　－３＜ｘである。
また、ax>1 ・・・(2)の解はaの符号によって異なり、
　a>0ならば　1/a <x　・・・★
　a<0ならば　x< 1/a 　・・・★
となる。(1)(2)をともに満たす整数がただ一つであるとき、
　アイ＜　a < ウエ/オ
であり、ｘの値はx=　カキである。」

ア～キが分かりません（★は自分でだした答えです。）
aの範囲、ｘの値をどうやって導き出すのか、教えてください。

ｘ

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞(1)(2)をまとめると、　-3 < x < 1/a　となる

酷い出鱈目。

高2以上なら、座標を使うと簡単だし視覚的にもミスを防げるが。。。
問題に書き込みミスが無いとして正解を書いておく。素直に数直線を使ってみよう。

a＝0の時、ax＞1　→　0＞1となり不適。

a＞0の時　x＞-3、x＞1/a　となる。この時は、-3と1/aの大小に無関係で整数値は無数にある。よって、不適。

a＜0の時
ここから場合分けが必要。
(1)1/a＝-3の時、x＞-3、x＜-3　となるから、x≠-3　だけだからxの整数値は無数にあり不適。
(2)1/a＜-3の時　x＞-3、x＜1/a　より共通範囲はないから不適。
(3)1/a＞-3の時　1/a＞x＞-3　となる。　ここで　（-3）と1/aの間隔が問題だが、題意を満たすに、1＜（1/a）－（-3）≦2であると良い。
この不等式を解くと、a＜0に注意して、-1≦a＜-1/2.

もし、質問者の通りに“アイ＜　a < ウエ/オ”として、等号が付いていないなら、条件：ax＞1 は　ax≧1 の書き込みミスだろう。

補足

mister_moonlightさん

いつも分かりやすい回答ありがとうございます！！

解答のところは転記ミスをしてました。
スミマセン・・・
正しくは-1≦a＜-1/2です。

（２）のところまでは理解できたのですが、
なぜ（３）
　＞ここで　（-3）と1/aの間隔が問題だが、題意を満たすに、　　　　　　1＜（1/a）－（-3）≦2であると良い。
というのが必要なのか、わかりませんでした＞＿＜
そして、-1≦aはどこからだした答えなのでしょうか？

すごく初歩的なことを聞いて、すみません。
教えてください。

回答No.4

mister_moonlight

＞身もそして、-1≦aはどこからだした答えなのでしょうか？

a＜0の条件で、1＜（1/a）－（-3）≦2　を解いただけ。

＞1＜（1/a）－（-3）≦2であると良い。というのが必要なのか、わかりませんでした＞＿＜

数直線上で、（-3）と（1/a）を書いてみると、xの整数値が1個であるためには、（-3）と（1/a）の差が　1超で2以下であればいいはずだ。
1以下ならxの整数値はないし、2超ならxの整数値は1個以上あるから。
ここがこの問題のポイント。
例えば、xの整数値が1個の整数値が2個あるための条件ならどうなるか？

分らなければ、分るまで考える事。そうやって苦しんで、考えて。。。。。。その繰り返しが数学の上達に繋がる。

お礼

丁寧に解答を読んでいくと、だんだん分かってきました☆

自分で考えて解くことって重要ですね。
いつもありがとうございますっ！！！

回答No.2

mister_moonlight

＞(1)(2)をともに満たす整数がただ一つであるとき、アイ＜　a < ウエ/オ

これは問題が間違いか、質問者の書き込みミスではないか？
問題が正しければ、-1≦a＜-1/2　になるはず。

a＝-1とすると、x＞-3、x＜-1　であるから、-3＜x＜-1　となり、整数値はx＝-2となり条件を満たす。
つまり、問題に転記ミスがなく問題が正しければa＝-1も解の一部である。

以上から、質問者の転記ミスと同時に、＃1の回答者の回答は間違いである事が分るし、それも他の解法で確認してある。

回答No.1

pasocom

(1)の解から、整数xは「-2、-1、0、1、2・・・」が考えられるが、
「(1)(2)をともに満たす整数がただ一つである」とすれば、(2)の解は
　1/a < x　（a > 0 の場合）、はありえない。これだとxは無限にあることになる。
よって(2)の解は
　x < 1/a （a < 0 の場合）が正しい。
(1)(2)をまとめると、
　-3 < x < 1/a　となる。この解となる整数xがひとつしかないのだから
　x=-2　である。
これより
　-2 < 1/a　となり、かつ　1/a < -1 である。そうでないと、x= -1　も解になってしまうので。
よって
　-1 < a <　-1/2　である。

お礼

問題を転記ミスしてました。
すみません・・・

解答いただき、ありがとうございました☆