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素数の分類に関して
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8n+5型の素数 共通因数を持たない2つの平方数の和 m=(3^2)・(5^2)・(7^2)・・・(p^2)+2^2 を考える。 奇数2k+1の平方(2k+1)^2=4k(k+1)+1 であるから、それは8n+1の形をしている。 従ってmは8n+5の形をしている。 mが素数ならば、それは8n+5の形でpよりも大きい素数である。 mが合成数ならば、その素因数の中に8n+5の形のものが少なくとも1つある。 (8k1+1)(8k2+1)=8(8k1・k2+k1+k2)+1 であるから、もしmの素因数がみな8n+1の形であったとするとmは8n+5の形ではあり得ない。そこでqをmの素因数で8n+5の形のものとする。 qはpと互いに素でなければならないからq>pである。 故に8n+5の形の素数は無限にある。 ------------------ 以下の事実を使っている。 aとbとが共通因数を持たないならばa^2+b^2の奇数の素因数はどれも4n+1の形をしている ------------------
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- yoikagari
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http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node34.html の定理27はどうでしょうか？ 「8n+1型の素数が無限に存在する」という事実は、この定理27のm=8における特別な場合です。
お礼
とても参考になりました。 素数に関する証明は難しい部分も多いですが、理解できる形にしていきたいと思います。
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
Dirichletの算術級数定理 でググってください 個別にはもっと簡単に証明できるのかもしれませんが。
お礼
回答ありがとうございます！この定理も非常に難しいですね。 もう少し優しく証明できる題材があればよいのですが・・・頑張って探してみます。
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