三角比と数列

質問

以下の問題が難しくて解けません。
解き方もあわせてお答えいただければ嬉しいですが、解答だけでもかまいません！よろしくお願いします！！
※【】は小さい文字です
下図のようにA1(1,0)がある。A【n＋1】は△A【ｎ】A【ｎ＋1】Oが∠OA【ｎ】A【n＋1】＝90°,∠A【ｎ＋1】OA【ｎ】=30°の直角三角形を作るようにA13まで作る。
このとき次の問いに答えなさい
必要であれば３の１２乗＝530441、４の１２乗＝16777216を利用しなさい。

(1)OA【ｎ】＝a【ｎ】とするとき、a【ｎ】をｎを用いてあらわしなさい。

(2)A【n】A【n＋1】＝ｂ【ｎ】とするとき、ｂ【ｎ】をｎを用いてあらわしなさい。

(3)△OA【ｎ】A【ｎ＋１】＝Sとするとき、S【ｎ】をを用いてあらわしなさい。

(4)十三角形A1A2A3・・・・A13の面積を求めなさい。
　　□□□□□□□□√□/□□□□□□□
最後の問題は分数になるようです。

回答No.1

noname#250262 · ベストアンサー

OA[1] = 1
OA[2] = 2 / √3
OA[3] = ( 2 / √3 )^2
ここから、OA[n] を求める。

b[1] = A[1]A[2] = OA[1] * ( 1 / √3 )
b[2] = A[2]A[3] = OA[2] * ( 1 / √3 )
ここから、b[n] を求める。

(3) は、(1)、(2) より自明

(4) は、Σ[k=1 to 13] S[k]を計算

回答No.2

naniwacchi

それぞれの直角三角形は、30度、60度、90度というおなじみのものになっています。
つまりは、互いに相似であるということです。

(1)a[n]
まず、三角形ＯＡ[1]Ａ[2]と三角形ＯＡ[2]Ａ[3]を考えます。
辺ＯＡ[2]を見ると、
・三角形ＯＡ[1]Ａ[2]の斜辺であり、
・かつ、三角形ＯＡ[2]Ａ[3]の直角をはさむ一辺となっています。
対応する辺の比から、長さの比が求まります。（相似比）
「比が求まる」ということは、等比数列です。

(2)b[n]
相似比がわかれば、簡単に求まります。

(3)S[n]
三角形の面積は、a[n]とb[n]から求められます。

(4)十三角形の面積
(3)の答えを見るとわかりますが、面積も等比数列になるはずです。
（相似比が一定であれば、面積比は相似比の○乗になりますね）
等比数列の和を計算することになります。