比の使い方・見方

質問

題名にも書きましたが比の扱いに戸惑うことが多いのでいくつかアドバイスを頂きたいです。

三角形ＯＡＢがあり、ＯＡ上に点Ｐ（ＰはＯにもＡにもならない）、ＯＢ上に点Ｑ（ＱはＯにもＢにもならない）を取るとする。このとき△ＯＰＲ/△ＯＡＢ＝ＯＰ・ＯＲ/ＯＡ・ＯＢとなる。

というのがあったのですが、これがよく分かりません。例えば相似な図形があったとき、相似比が分かっていれば面積比はその２乗になる、というのは分かっているのですが、それ以外は聞いたことがないので。といいますか結局自分の応用が利いてないだけなんですが...
あと比を使うときに上にも書いたように問題集の解答では分数の形で書いてることが多いのですが、これは慣れでしょうか？慣れという言葉はおかしいかもしれないですね。ただ自分は○：□＝△：×から内項の積＝外項の積としてから始めないと出来ないもので。

このようにかなりレベルが低いので説明しにくいかもしれませんが、少しでもしっかりと理解したいと思うのでアドバイスよろしくお願いします。

回答No.3

DoragonFang · ベストアンサー

三角形の面積は、３つのパラメータが分かれば、作図できます。作図できると言うことは、面積を求めることも出来ると言うことです。
必要な３つのパラメータは次の３つの組み合わせのどれかです。
(1) ３辺の長さ
(2) ２つの辺の長さとその辺に挟まれる角の角度
(3) １つの辺の長さとその辺の両側の角の角度

ご質問の場合はANo.1で書かれているように、上の(2)の場合ですから、△OABと△OPRの面積を求めることが可能です(ご質問の文中、OB上の点Qというは点Rの間違いですね）
ANo.1でご回答の通り、
△OAB=1/2・OA・OB・sin∠AOB
△OPR=1/2・OP・OR・sin∠POR

なので、
△OAB/△OPR=（1/2・OA・OB・sin∠AOB) / (1/2・OP・OR・sin∠POR)
　　　　　　　=OA・OB / OP・OR
となります。
ここで、注意して欲しいのは　OA:OP=OB:OR ではなく、OA・OB ： OP・OR ＝(一定) であることです。

比がよく分からないというは、たぶん、どことどこを比較しているかが分かっていないせいだと思います。
例えば、A:B=C:D という関係があるとすると、Aに対してはCが、Bに対してはDが対応するんですよね。

比を分数にするということは、A/C=B/D と表現することですね。この場合に便利なのは、数式として比率が出るということです。
例えば、CがAの３倍ですとすると、C=3A ですから、
　A/C = A/3A = 1/3
つまりAが１に対してCは3になるということが分かりますよね。
またこのとき、DもBの３倍ですから、D=3Bで、同様に、
　B/D = B/3B = 1/3
なので、
　A/C = B/D =1/3
と表現できるのです。

さて、ここで、分数でなくすために、分母のC、Dを両辺にかけると、
A/C *C *D =B/D *C *D
→　AD = BC
これは、A:B=C:Dの内項の積と外項の積が等しいという式と同じですよね。
つまり、分数の式も：でつなぐ式も同じコトを違う表現にしているだけです。どちらにしても、AとC、BとDが関係しているということは同じです。
考えるときはAとどれが関係し、Bとどれが関係しているのかを理解することが必要です。
特にご質問のような場合は、フリーハンドでいいので、
実際に図を書いて見るとよく分かると思います。

お礼

なるほど。比を分数で表すのにはそういう意味もあったのですね。理解が深まりました。ありがとうございます！

回答No.2

2mama

ＲはＱのことですよね～
さて，
Ｏが直角の場合を考えるといいと思います。
△ＯＡＢの面積は（ＯＡ・ＯＢ）/2です。
△ＯＰＲの面積は（ＯＰ・ＯＲ）/2です。

つまり△ＯＰＲの△ＯＡＢに対する比は，
（△ＯＰＲ/△ＯＡＢのこと）
ＯＰ・ＯＲ/ＯＡ・ＯＢになります。

この問題は，分数の形で書くのがベストでしょうね。
慣れてください。
△ＯＰＲ：△ＯＡＢ＝ＯＰ・ＯＲ；ＯＡ・ＯＢ
から，始めてもちゃんとたどり着きます。

勉強頑張ってくださいね。

お礼

やっぱりそれなりの慣れは必要ですよね。でもよく分かりました。ありがとうございます！

回答No.1

BLUEPIXY

２辺とその挟む角が判っている時
例えば
２辺をａ，ｂ
角をＣとする時
面積は
（１／２）・ａ・ｂ・ｓｉｎＣ
ですから同じ角を挟んでいるから
質問文の
△ＯＰＲ/△ＯＡＢ＝ＯＰ・ＯＲ/ＯＡ・ＯＢ
は明らかです。

お礼

まったくですね！ありがとうございます！