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斜方投射と斜面を転がる運動の複合問題
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- bistort
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V0をvと表記します。 問1、vtsinθ-1/2gt^2=0,vtcosθ>L 上の式を解けば答えが出ます。一つ目は、物体が水平面に落下した時の方程式で、二つ目は、その時に、小球がL以上の距離にある条件です。 問2、vtsinθ-1/2gt^2=y,vtcosθ=x 上の式からtを消去すると、小球の軌跡の方程式が出ます。具体的にいえば放物線です。ここで出る放物線は、原点を点Pとしているので、原点を点Pとしたときの、斜面の方程式を出します。 y=xtanθ-Ltanθ 求めた放物線の方程式と斜面の方程式からyを消去すると、落下点のx座標が出てきます。 確認のためですが、答えは(6)と(2)です。 2sinθcosθをsin2θに変換することの気付けば、あとはできると思います。ついでにグラフを。青が小球の軌跡、赤が斜面の方程式です。数値は適当。(x>0,y>0)
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- buturikyou
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問い(1)ですが、物理学では不等式は扱わないのが古からの慣習でして「v0がある値よりも大きくないと斜面にまで届かない」ということから「(1)(3)(5)をまず排除する」というのが正統的な解き方でしょう。 v0tsinθ-gt^2/2=0よりt=0を不適としてv0=gt/2sinθ また、v0cosθ・t=Lだから、v0^2=gL/2sinθ・cosθ ここで倍角公式より、2sinθ・cosθ=sin2θ ∴(6)が答えです! 水平方向をx、垂直方向をyとすると y=v^0tsinθ-gt^2/2 かつ x=v^0tcosθ この両式からtを消去すれば y=xtanθ-gx^2/2v0^2・cos^2θ 斜面の方程式は、y=tanθ・(x-L)=xtanθ-Ltanθ 両者からyを消去すればxtanθが消えて・・・ ∴(2)が答えです! 全体として三角関数の公式を使いこなせるかどうか、と、図を見ながら丁寧に式を立てられるか、に掛かっているようです、頑張って下さい・・。
お礼
buturikyouさん,ご回答誠にありがとうございます。 問1.に関してですが,歴史的な背景も織り交ぜて頂き 大変勉強になります。記号一つ不等号ですが, 「v0がある値よりも大きくないと斜面にまで届かない」 を深慮すれば納得がいきます。 私の躓きどころを見事に取り去ることができました。 これらを参考に整理し,理解に役立てたいと思います。
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