手計算で

質問

4×(4/9)^2/3=2.33
上記を手計算で解くにはどのようにやればよいのでしょうか？
(4/9)^2/3をどうしていいか解りません。
宜しくお願いします。

回答No.2

info22

>(4/9)^2/3
これは
(4/9)^(2/3)
((4/9)^2)/3
のどちらですか？　
計算の内容に影響しますので括弧をつけないと計算機では後者と解釈して
計算します。

答えから判断すると前者のようです。
従って、前者として計算してみます。
掛け算記号として「*」を使うと
(4/9)^(2/3)=(((2^2)/(3^2))^2)^(1/3)=(2^4/3^4)^(1/3)=(2/3)^(4/3)
=(2/3)^(1+(1/3))=(2/3)*(2/3)^(1/3)

>4×(4/9)^(2/3)
=4*(2/3)*(2/3)^(1/3)
≒2.666667*(0.6666666666666666667)^(1/3)
≒2.666667*0.873580
≒2.3295
この計算では 2/3≒0.666666...の3乗根の計算が必要です。
3乗根の手計算での開立法の方法
http://yosshy.sansu.org/cbr.htm

または、常用対数表を使って以下のように計算します。
log{4*(4/9)^(2/3)}
=log4+(2/3)(log4-log9)
=2log2+(2/3)*(2log2-2log3)
=2log2-(4/3)*(log3-log2)
≒2*0.30103-(4/3)*(0.47712-0.30103)
≒0.60206-4*0.17609/3≒0.60206-0.23479=0.36723
常用対数表を逆引きして
4*(4/9)^2/3≒10^0.36723=2.3295≒2.33

お礼

ご丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.1

-somebody-

つまり
三乗根の近似ができればいいわけですね。

n乗根の近似をするには幾つもやり方があると思いますが
3乗根なら
参考URLのやり方が一番やりやすいのではないでしょうか。(無限小数の計算はすこししんどいですが。。。)

4×(4/9)^(2/3)は
4×(2/3)^(4/3)であり
8/3×(2/3)^(1/3)
となるので

2/3の三乗根を求めればいいんじゃないでしょうか。

蛇足ですが
もし高校数学で微分を学んだことがあるなら

ニュートン法という
n乗根を近似する便利な方法があります。

一般にa^(1/n)をもとめる場合
関数f(x)を
f(x)=x^n-a
としたとき
(x=a^(1/n)を代入した時にf(x)=0となるような関数をつくる)
a^(1/n)<bとなる値と
f'(x)を用いて
a^(1/n)<c<bとなるcが

c=b-f(b)/f'(b)

という式で得られます。
あとは順番に
a^(1/n)<d<cとなるdを求める式は
d=c-f(c)/f'(c)
…
というように
何回か計算してやると
非常にa^(1/n)に近い値が得られます。

本当は数列b_nを用いて
a^(1/n)<b_1
b_(k+1)=b_k-f(b_k)/f'(b_k)
とあらわすので
もし数学がお得意ならばこちらの式を元にどうぞ。

ちなみに
上記のf(x)を
xで割ってやった式g(x)=x^(n-1)-a/x
を使うとより収束がはやくなります。

ということで
b=1として
g(x)=x^2-2/3x
g'(x)=2x+2/3x^2
とすると
c=7/8となって

(2 / 3)^(1 / 3) = 0.873580465
という値と小数第二位まで合います。

更にdを求めてやると(分数の計算が鬼のように大変ですが)
d=0.8735804…となります。

ニュートン法による近似は
収束が早いのですが
どのような関数でも使えるわけではないです。

ただ
n乗根の場合に関しては
比較的有効な方法だと思います。

参考URL：

http://homepage1.nifty.com/moritake/sansu/6/heihoukon/kon02.htm

お礼

大変ご丁寧な説明を頂きまして本当にありがとうございます。
早速教えていただいたやり方でやってみます。