数学 微分方程式？

質問

数学で問題で良くわからないものがありましたので、わかる方がいましたらお願いします

3％アルコールの液体が400Lタンクに入っています。毎分、6％アルコールの液体が3L入れられ、4Lの液体が排出されます。（液体はちゃんと混ざっていると仮定して）
この液体の量、アルコールの量を求めます。

液体　y、アルコール　A、時間　t　として
y(t)=400-t　は良いと思いますが、
dA/dt = (3×.06) - 4(A/y)
　　　　= 0.18 - 4(A/400-t) で合っているでしょうか？
ここからA(t)を求めようとしたときになかなか答えが見つからないので困っています。

それと時間tの時のアルコール濃度はy(t)/A(t)で見つけられますが、1つの式にするとどうなるでしょう？ v(t)=?

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#95312 · ベストアンサー

変数、パラメーターの記号をちょっと変えます。

時刻 t におけるアルコール濃度を C(t)(%)
液体の量を L(lt)
流入する液体中のアルコールの濃度を C0(%)
一分間に流入する液体の量を F(lt/min)
一分間に排出される液体の量を R(lt/min) で表わします。

時刻 t～t+dt の間におけるアルコール量の出入りバランスを
評価します。

容器内のアルコール量の変化は、L・dC(t)
(増加)　容器に流入するアルコールの量は、C0・(Fdt)
(減少)　容器から出るアルコールの量は、C(t)・(Rdt)

微分方程式は
L・dC(t)=C0・(Fdt)-C(t)・(Rdt)

両辺をL、dt で割ると、
dC(t)/dt=C0・(F/L)-C(t)・(R/L)
dC(t)/dt+C(t)・(R/L)=C0・(F/L)

これを解きます。
d[C(t)・e^{(R/L)t}]/dt=C0・(F/L)・e^{(R/L)t}
∫[t:0～t]d（[C(t)・e^{(R/L)t}]/dt）・dt
　=∫[t:0～t]C0・(F/L)・e^{(R/L)t}dt

C(t)・e^{(R/L)t}-C(0)・e^{(R/L)0}
={1/(R/L)}・C0・(F/L)・[e^{(R/L)t}-e^{(R/L)0}]

C(t)=C(0)・e^{(-R/L)t}+(L/R)・C0・(F/L)・[1-e^{(-R/L)t}]

回答No.1

sinisorsa

ちょっと微妙な問題ですね。
３％アルコールの３％は重量比？、体積比？
たとえば１Lの水に１Lのアルコールを混ぜた場合
２Lにならない。アルコール分子の方が水分子より
かなり大きいので、アルコール分子の隙間に水分子が
入るためのようです。
数学の問題なので、この辺は無視しているのでしょうか。