等比数列の式！？

質問

等比数列の式の解き方を教えて下さい。

例えば　1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +.....+ n^2 = (1/6)n(n+1)(2n+1) ですが、この(1/6)n(n+1)(2n+1)を素早く割り出す方法があれば知りたいです。

回答No.3

ItachiMasamune

覚えるのが難しいので、簡単な導出方法が知りたいということであれば、無理してでも覚えることをお勧めします。人間なら覚えることができます。

もし、証明せよと言われたら、次の方法がよく使われます。
k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1
k=1～nを計算します。
1^3 - 0^3 = 3・1^2 - 3・1 + 1
2^3 - 1^3 = 3・2^2 - 3・2 + 1
3^3 - 2^3 = 3・3^2 - 3・3 + 1
……
(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3・(n-1)^2 - 3・(n-1)+ 1
n^3 - (n-1)^3 = 3・n^2 - 3・n + 1

両辺を足し合わせると、左辺はうまく相殺して
n^3 = 3Σ(k=1～n)k^2 - 3Σ(k=1～n)k + n
= 3Σ(k=1～n)k^2 - 3・(1/2)n(n+1) + n
3Σ(k=1～n)k^2 = n^3 + 3・(1/2)n(n+1) - n
=(1/2)n(n+1)(2n+1)
Σ(k=1～n)k^2 = (1/6)n(n+1)(2n+1)

この方法なら3乗以上も計算できます。もし3乗和が知りたければ、k^4-(k-1)^4を、4乗ならk^5-(k-1)^5を計算すればいいです。

回答No.2

nag0720

1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +.....+ n^2　を簡単に計算する方法は？
という質問と解釈して、回答します。

1 + 2 + 3 + 4 +.....+ n
を計算する方法は、これをひっくり返して、
n + (n-1) + (n-2) +.....+ 3 + 2 + 1
それぞれの項を足すと、n+1がn個できるから
n(n+1)/2
が導きだされます。

1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +.....+ n^2　も同じようにできます。

この数列を三角形に分解します。
１
２　２
３　３　３
４　４　４　４
・・・・・・・・・・・・・・・
ｎ　ｎ　ｎ・・・・・・・・ ｎ

向きを変えてあと２つ作ります。
ｎ
ｎ　n-1
ｎ　n-1　n-2
ｎ　n-1　n-2　n-3
・・・・・・・・・・・・・・・
ｎ　n-1　n-2・・・・・・・・ 1

ｎ
n-1　ｎ
n-2　n-1　ｎ
n-3　n-2　n-1　ｎ
・・・・・・・・・・・・・・・
１　２　３・・・・・・・・ ｎ

同じ場所の数値を足すと、全て 2n+1　になります。
そしてその個数は三角数なので、n(n+1)/2

以上より、
(2n+1)×n(n+1)/2÷3=n(n+1)(2n+1)/6

回答No.1

Tacosan

質問内容が今一つわからない (「割り出す」ってどういう意味だろう) のですが, どこが「等比級数」なのでしょうか?