等比数列の式について
- 等比数列とは、一つの数から次の数を求める際に、一定の比でかけることを繰り返す数列です。
- 試行回数を表す指数に応じて、等比数列の式が変化することがわかります。
- 無限試行回数の場合、等比数列の式は収束することが知られています。
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等比数列の式について
等比数列式を教えてください。 ある確率を求めるために100回の試行を順番に行い、 その和を求めることでトータル確率を求めたいです。 以下に記載した式が、1回目から100回目までの各試行毎の計算式なのですが、 a * b^0 * c^0 * (1-0.9^100) a * b^1 * c^1 * (1-0.9^ 99 ) a * b^2 * c^2 * (1-0.9^ 98 ) a * b^3 * c^3 * (1-0.9^ 97 ) a * b^4 * c^4 * (1-0.9^ 96 ) ・・・ a * b^99 * c^99* (1-0.9^ 1 ) 質問(1) この長々とした式を「等比数列」という頼もしい一行の式にできないでしょうか? 質問(2) 上記の式は試行100回の有限試行回数ですが、無限試行回数の「等比数列」式も、 教えて頂きたいです。 私自身、等比数列について色々調べましたが、元々中学レベルの数学知識しか持っておらず、 皆目見当がつきません。 皆様の御力添えをよろしくお願いします。
- saya_pyon
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式を全部足すのですよね? Σ[i=0→99]a*(bc)^i-Σ[i=0→99]a*0.9^100*(bc/0.9]^i =a*(1-(bc)^100)/(1-bc)-a*0.9^100*(1-(bc/0.9)^100)/(1-bc/0.9) 無限回 式は a/(1-bc)-alim[n→∞]{0.9^n(1-(bc/0.9)^n)/(1-bc/0.9)} =a/(1-bc)-alim[n→∞]{0.9^n-(bc)^n)/(1-bc/0.9)} =a/(1-bc)-0=a/(1-bc) bc<1は確率ですから
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- yyssaa
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質問(1)について 与式の和=a*(1+bc+b^2c^2+・・・・+b^99c^99) -a*0.9^100{1+(bc/0.9)+(bc/0.9)^2+・・・・+(bc/0.9)^99} という等比級数になります。 質問(2)について 上記の等比級数で100をnに置き換えると =a*(1-b^nc^n)/(1-bc) -a*0.9^n{(1-(bc/0.9)^n/(1-bc/0.9)} ここでn→∞とした時、第一項は|bc|<1でa/(1-bc)に収束し、 第二項は|bc|<1で0に収束するので、答えはa/(1-bc)になります。
お礼
ご回答ありがとうございます。 無事、答えを導き出すことができました。 ありがとうございました。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 頂いた式を用いて、無事解決できました。 重ねて御礼申し上げます。