中学数学 角度の問題

質問

前回と同じような問題がありました。色々考えましたが、わかりません。
三角形ABCは∠A＝20度の二等辺三角形。AC上に点Dを∠DBC=60度となるようにとる。AB上に点Eを∠ECB=70度となるようにとる。この時、∠DECの大きさを求めよ。という問題がわかりません。AB上にFを∠FCB=20度になるようにとってみましたが、∠DECの大きさはわかりません。よろしくお願い致します。

回答No.2

titetsu · ベストアンサー

前回の問題もそうでしたが，これらは
ラングレーの問題
と呼ばれているものです。
整数である角の場合はすべて解き方が分かっています。

参考URL：

http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html

補足

titetsuさま
貴重な情報有り難うございます。これを知らずに、自分なりに角度の数値を変えてトライしていたところです。

回答No.7

htms42

私は前の質問
∠ＤＢＣ＝６０°、∠ＥＣＢ＝５０°
の結果を踏まえた方法でやりました。

６０°のところが共通ですから出来るだろうと考えたのです。
前に得られた結果は全て使うという立場です。
問題ごとに解き方が変わるというのがしっくりこないのです。

記号ＤＥは前の問題のものとします。正三角形を作った点Ｆも前と同じとします。新たに∠ＢＣＧ＝７０℃となる点をＡＢ上に取ります。ＢＤ，ＣＧの交点をＨとします。
わかっている角度を全部書き込んでいきます。
∠ＢＥＣ＝∠ＢＨＣ＝５０°ですから４点ＢＣＨＥが同一円周上に着ます。
∠ＤＨＧ＝∠ＤＥＧ＝５０°ですから４点ＤＨＥＧが同一円周上に着ます。
円周角が等しいということで∠ＣＢＨ＝∠ＣＥＨ、∠ＨＥＤ＝∠ＨＧＤです。
これで∠ＨＧＤ＝２０°が出てきます。

お礼

htms42さま

丁寧な解説有り難うございます。よくわかりました。

>問題ごとに解き方が変わるというのがしっくりこないのです。
まったく同感です。

回答No.6

makiossk

こちらです。拡大してください。

補足

makiosskさま
レス有り難うございます。
やはり、
Ｏを中心とする半径ＯＥの円周上にＡ，Ｂ，Ｅが乗ります。
とありますが、Ｃ，Ｂ，Ｅ　ではないでしょうか。などです。

回答No.5

makiossk

ミスプリですか？画面上で見られないのであれば，TXTファイルにしますので，直接印刷してください。

回答No.4

makiossk

高校の学習範囲が入っているかもしれません。
ちょっと面倒くさかったです。図を描きながら，読んでください。
まず，∠ＢＣＯ＝６０°となる点ＯをＢＤ上にとります。すると
∠ＢＯＣ＝６０°
∠ＢＥＣ＝３０°
ですから，円周角の定理の逆により，
Ｏを中心とする半径ＯＥの円周上にＡ，Ｂ，Ｅが乗ります。
次に，∠ＣＢＯ（∠ＣＢＤ）の２等分線と∠ＣＤＢの２等分線の交点をＩとします。
ここで，ＩはΔＤＢＣの内心（内接円の中心）になりますから，
∠ＤＣＩ＝∠ＢＣＩ＝４０°です。
すると，正三角形ΔＯＢＣにおいて，
∠ＯＣＩ＝２０°となり，
∠ＣＯＩ＝２０°＝２×∠ＣＥＯ…（ア）
∠ＢＯＩ＝４０°＝２×∠ＢＥＯ
ですから，
∠ＢＤＩ＝∠ＢＥＩ　となって
円周角を用いた同一円周上に４点が乗る条件によって
４点Ｅ，Ｄ，Ｉ，Ｂはひとつの円周上に乗ります。
このことから，円周角の定理によって
∠ＤＥＣ＋∠ＣＥＩ＝∠ＤＥＩ＝∠ＤＢＩ＝３０°
ここで∠ＣＥＩ＝１０°（ア）ですから
∠ＤＥＣ＝２０°ですね。
お疲れ様でした。

補足

makiosskさま
すみません。ミスプリが多く、よくわかりません。
Ｏを中心とする半径ＯＥの円周上にＡ，Ｂ，Ｅが乗ります。
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ　　　　　・・？
∠ＣＯＩ＝２０°＝２×∠ＣＥＯ…（ア）　　　・・？

回答No.3

debukuro

BDとCEの交角は分かりますね
それが分かったら後は簡単

補足

debukuroさま
交角130度はわかりますが、そのあとがつづきません。
よろしくお願い致します。

回答No.1

rnakamra

ヒント：
AC上に点FをAE=EFとなるようにとる。△CEFはどのような三角形か?
そのことから、AEの長さがどの長さと等しいといえるか?

補足

rnakamraさま
ヒント有り難うございます。ヒントから、AE=EF=FCまではわかりました。従って、B,E,D,Fが同一円周上にあることまではわかりましたが、・・・・。あとがわかりません。PARTIIよろしくお願い致します。