単因子論で（１，１）が必ず１になるのは何故？

質問

僕の先生は、単因子論の基本変形を、以下のように書きました。
　　　(1)　行iと行ｊの入れ替え　　　　　　　　
　　　(1')　列iと列ｊの入れ替え　　　　　　　　
　　　(2)　行iに　ある数a∈Rをかける　　　
　　　(2')　列iに　ある数a∈Rをかける　　　
　　　(3)　行iに　ある多項式をかけたものを別の行ｊに加える　　　
　　　(3')　列iに　ある多項式をかけたものを別の列ｊに加える
これでは、
t-1　　０　０
　０　t-1　０
　０　０　　t-1
の要素(1,1）が１にできないと思います。
この場合、どう計算すればいいのか、お教え願います。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

陳謝と訂正：
A No.1 文中の「単因子」は「単元」に訂正して、読み返してもらえれば幸い。
(1,1) 成分が 1 にできない理由は、アレで合っているのですが…。

御質問の行列は、(1)～(3') の変形で (1,1) 成分を 1 にすることはできないし、
「単因子論」でも、そんなことができるとは言いません。
変形は質問の形でオワリで、だから、tE-A の単因子は (t-1, t-1, t-1) です。
恐らく、講義内容を誤解しているのでしょう。

お礼

丁寧なお答え、ありがとうございます。
＞「単因子論」でも、そんなことができるとは言いません
了解しました。
夏休みが明けたら、先生に確認します。
ありがとうございました。

回答No.1

arrysthmia

御質問の行列は、
t の多項式環 R[t] を成分とする行列環
において、単因子ではありません。
基本変形で単位行列にできないのは、
そのためです。

t が変数でなく、1 以外の実定数であれば、
実行列環の単因子ですから、
(2) で a=1/(t-1) とすることで、
(1,1) 成分を 1 にできます。

補足

ご回答、ありがとうございます。
実数行列の場合、行と列の基本変形で、対角成分をALL１にできることは、
習いました。
先生は、単因子論により、
t の多項式を成分とする行列について、(1,1)成分を 1 、他の対角成分が
(i,i)が(i-1,i-1)で割れる多項式にできる　ことを前提に、
ジョルダン標準形の証明をされました。
おっしゃることから考えると、この証明の前提は、誤っているように思います。
つまり、
与えられた（ｔE－A)というt の多項式を成分とする行列が、
基本変形を繰り返して、例えば、僕が掲げた行列になれば、
単因子論は、適用出来なくなる。
と思って良いでしょうか？