余因子展開についての疑問
- 余因子展開と余因子について理解できていません。
- 数量行列detAの余因子展開における第1行と第2列の成分の違いがわかりません。
- 質問の中で示された計算結果に基づいて、自身の余因子展開の方法が正しいのか疑問に感じています。
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余因子 余因子展開
余因子と余因子展開についてわからない事があるので 質問させて頂きます。 前回同様の質問をさせて頂いたのですが、 解決できないので再度質問させて頂きます。 前回質問：http://okwave.jp/qa/q7527124.html detA＝ ｜1 2 3｜ ｜4 5 6｜ ｜7 8 9｜ とする。 第1行についての余因子展開は detA＝ 1｜5 6｜-2｜4 6｜+3｜4 5｜ ｜8 9｜ ｜7 9｜ ｜7 8｜ となります。 detAにおける第1行と第2列の成分をa12とします。 a12の余因子をa12＾～と表します。 a12＾～＝ -｜4 6｜ |7 9｜ となります。 余因子展開の場合は2がかけられますが、 余因子では2がかけられません。 この違いがよくわかりません。なぜでしょうか？ 私の余因子展開の方法が間違っているのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- RY0U
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質問者が選んだベストアンサー
余因子展開が何であるかは、前回質問で説明しました。 行列の成分に、その成分の余因子を掛けて、一行分 または一列分総和したものが、行列式の余因子展開です。 今回貴方が疑問視している 2 は、a12 そのものです。 a12 などに、それの余因子を掛けたものを総和するのであって、 a12 の余因子に a12 自身は含まれません。
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- Tacosan
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む, 質問文と #3 への補足を組み合わせたらより一層「何を考えているのか」が分からなくなった.... 「展開する行列成分に余因子をかける」ものを (さらに加えないと無意味だが) 「余因子展開」とするなら, 質問文中の A に対する「第1行についての余因子展開」において「展開する行列成分」と「余因子」はそれぞれどれに対応しますか? そして, 質問文の「余因子展開の場合は2がかけられますが、余因子では2がかけられません。」では, なぜ 8 でも 19.332 でもなく「2」なんですか? 余因子に 2 を掛けてかつ「展開する行列成分に余因子をかける」としたら, どのような式になると思いますか?
お礼
ご回答ありがとうございます。 そもそも疑問となった発端は、余因子にあります。 余因子の総和が余因子展開だと勝手に考えていたので・・・ なぜ、余因子展開にはa11，a12，a13が掛け算の形で現れるのか 疑問に思った次第です。 alice_44さんのご回答で理解できました。 お手数をおかけしました。
- ferien
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ANo.2ANo.3です。補足について、 ＞余因子展開とは、展開する行列成分に余因子をかけるという ＞認識でOKでしょうか？ それでいいと思います。 ＞展開する行列成分を係数と言っているのですが、前回の質問 ＞では、係数はないと言われたので、私の余因子展開が間違えて ＞いるのかと考えた次第です。 言っている意味は分かったので、説明でも同じく係数という言葉を使いましたが、 普通は「係数」という言い方はしないようです。 「第１行の成分」に余因子を掛けると言うことでお願いします。 正確には、「第１行に関する余因子展開」です。
お礼
ご回答ありがとうございました。
- ferien
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ANo.2です。少し訂正です。お願いします。 ＞何乗になるかは、余因子ａij^～の添え字（i+j）で決まります。 済みません。
補足
ご回答ありがとうございます。 余因子展開とは、展開する行列成分に余因子をかけるという 認識でOKでしょうか？ 展開する行列成分を係数と言っているのですが、前回の質問 では、係数はないと言われたので、私の余因子展開が間違えて いるのかと考えた次第です。 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ferien
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＞この違いがよくわかりません。なぜでしょうか？ ＞私の余因子展開の方法が間違っているのでしょうか？ 間違ってはいないと思います。 多分detＡ＝ａ11ａ11^～＋ａ12^ａ12～＋ａ13ａ13^～と展開しようとしているのだと思いますが、 ＝１×ａ11^～＋２×ａ12^～＋３×ａ13^～ が余因子展開（余因子に係数を掛けて足したもの） ａ11^～，ａ12^～，ａ13^～が余因子です。 余因子の計算は、 ａ11^～＝（－１）^(1+1)×（５×９－６×８） ａ12^～＝（－１）^(1+2)×（４×９－６×７） ａ13^～＝（－１）^(1+3)×（４×８－５×７） （－１）のべき乗で符号が決まります。 何乗になるかは、ａijの添え字（i+j）で決まります。 係数と余因子の添え字が一致するときだけ、行列式の値が求められます。 （教科書などに書いてあると思うので、確かめてみて下さい。） どうでしょうか？計算を確かめてみて下さい。
- B-juggler
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ある程度かたがついたから、数学は久しぶりに。 えっと・・・。 １行２列の余因子展開してるんだね？ ん～、何故？ 余因子展開と、余因子は違うよ？ 余因子展開は計算の方法。 余因子は、ただの行列だよ。 大きさを求めるために（この行列のノルムを求めるため）、余因子行列を使うのなら 当然、２×（－１）＾（１＋２） ← １行２列だからマイナスだ。 がはいるし、 １行２列 の余因子行列は？ ときかれたら、 上の掛け算は必要ないね？ 余因子行列だけで構わないから。 行列の計算方法は、言葉にだまされてはいけないよ。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
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補足
いつもご回答ありがとうございます。 ＞行列の成分に、その成分の余因子を掛けて、一行分 ＞または一列分総和したものが、行列式の余因子展開です。 今回でいうその成分とは、第1行にあたるa11,a12,a13ですね。 それぞれの成分にその余因子を掛けて総和することが 余因子展開なのですね。 理解できました。 ありがとうございましたm(_ _)m