回路理論の問題なのですが・・・・

質問

こんにちは。こちらのカテゴリには初投稿になります。
某大学の一回生の者です。明日、回路理論の試験があるので勉強をしているところです。
その中で２問、どうしてもわからない問題があります。土曜、日曜とテスト勉強をする中で考えてみたのですがぜんぜんわかりません。。

１.
図の回路(添付ファイルをご覧ください。電源は交流電源です)で、キャパシタの電圧Vc=√(2)sin(2t+π/3)である。
(1)コイルL1(左上にあって、Rと並列になっているコイルです。)を流れる電流i(t)を求めよ。
解答)√(2)×(√2/4)sin(2t+π/12)
(2)回路全体の消費電力(実効電力)を求めよ。
解答)3/4[W]
２.
交流電源にR,L.Cを直列接続した回路(R=4[Ω]、L=1[H]、C=C[F])においいて、電源電圧の角周波数がω=2[rad/s]のとき、電流Iが最大になり、その大きさ(絶対値)は5[A]であった。
(1)キャパシタの容量Cを求めよ。
(2)電源電圧の角周波数を変化させたところ、異なる二つの角周波数ω1とω2で電流Iが4[A]となった。ω1とω2を求めよ。
(申し訳ありません。解答がありません。)

といった問題です。１については、VcとCが与えられていることから、Q(t)をQ=CVにより導出し、それをtで微分することによりキャパシタを流れる電流の時間関数を出すところまでいきました。
２については申し訳ないのですが、まったく手がつけられません。電流Iが最大になるのがどういったときなのかわかりません。

いくら教科書ノートを見返しても解くことができず、困っています。
もしよろしければ途中過程の説明も含めてご教示くださればと思います。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

１:
一足飛びに求めず, 地道に「分かっていることを手掛かりに, 分かることを広げていく」ことになると思います.
例えば C と Vc からキャパシタを流れる電流が分かり, そこから
・右の R にかかる電圧
・右側の並列部分の電圧 (と電流)
・上の並列部分の電圧 (と電流)
・コイルを流れる電流
の順にでるはずです. また, この時点で電圧源の発生する電圧や回路全体のインピーダンスも分かりますから, 全体で消費する電力も求まるはず.
２: 各周波数が ω のときの, 回路全体のインピーダンスを計算してください. そこからキャパシタンスが計算できます.

補足

ご回答ありがとうございます！
１の(1)に関してはお教えいただいたようにわかったところから広げていけば(途中でフェーザに変換して)できました！
(2)では、実効電力はP=|I^2||Z|cos(argZ)を利用して出そうと思ったのですが、Zがフェーザで(33-38j)/17とでてきて位相角argZが出ませんでした。。おそらく計算違いだと思うのでもう一回最初から計算しなおして見ます。
２については、回路全体のインピーダンスがZ=4+jω(1+C)となることがわかりましたが、、その先がわかりません。

残りの問題ももっと自分で考えてみたいと思います。
ご回答本当にありがとうございました！

回答No.7

rnakamra

#2のものです。補足に対しての返事が遅れました。

>キャパシタとインダクタが電力を消費しないというのははじめて知りました

キャパシタとインダクタは電荷若しくは電流とともにエネルギーを蓄積しますが、交流ではエネルギーの蓄積と開放を行うだけでそれ自体ではエネルギーを消費しません。

>左上の抵抗での電流は(1/2)sin(2t+7/12π)となりこのフェーザを1とおくと、右下の抵抗での電流は(√(2)/2)sin(2t+4/3π)となりフェーザにすると-1+j,よって各抵抗の消費電力は2と-4jとなり、求める電力は2-4jとなりますが、、ここでもとの時間関数に戻せなくなってしまい、つまづきました。。あとちょっと！がんばります。。

正弦波の場合、電流の実効値Irmsは振幅の1/√2倍です。
I(t)=(1/2)sin(2t+7/12π) の場合、Irms=1/(2√2) となります。
これは周波数や初期位相には全く関係しない。
もう一つの抵抗についても電流の振幅さえわかればIrmsを求めることが出来ます。

回答No.6

noname#101087

>ωを計算する過程ででてくるインピーダンスZ(ω)はなぜそのままではなく絶対値を用いるのでしょうか?

問題に「電流Iが4[A]となった」と絶対値のみ与えられており、それだけで解けるからです。
(下手に位相を与えると、辻褄が合わなくなることあり)

回答No.5

noname#101087

>電源電圧E=20は導出できましたが、これをどのように(2)で使っていいかわかりません。。

インピーダンス Z(ω) = R + j*{ωL-(1/ωC)} なので、
　電流I = E/|Z(ω)|　:　|Z(ω)| = SQRT[R^2 + {ωL-(1/ωC)}^2]　　…(A)
この二次方程式を解く。

もっとも、この問いでは E=20 を使わずに勘定できますね。
ω=2[rad/s]のとき電流Imax = 5[A] 、つまり Z(2) = R だから
　5 = E/|Z(2)| = E/R　　…(B)
問2.(2) は、
　4 = E/|Z(ω1)| = E/|Z(ω2)|　　…(C)

式 (B), (C) と (A) から、
　5/4 = |Z(ω1)|/R = SQRT[R^2 + {ω1L-(1/ω1C)}^2] /R　　…(D)
が得られ、E=20 を使わずに済む。

二次方程式 (D) を解けば、角周波数ω1 とω2 が一緒に得られます。

補足

ご回答ありがとうございます！
教えていただいた通りに意味を理解しながら挑戦してみたらみごとにω=±1と出てきました!
あとひとつうかがいたいことがあるのですが、ωを計算する過程ででてくるインピーダンスZ(ω)はなぜそのままではなく絶対値を用いるのでしょうか??

回答No.4

Tacosan

えぇと, 確かに「電源電圧を時間の関数として表す」ことはできますが, (少なくともこの問題に関しては) 無駄です.
「インピーダンスの絶対値」を考えてください. そこから #3 でいわれるように「{ωL-(1/ωC)} = ±X (X > 0)の形」になります.

補足

ご回答ありがとうございます！
あとの方の解答で解けました！また、Tacosanさんが「インピーダンスの絶対値」とおっしゃっていた理由もわかりました。
なんどもご回答ありがとうございます

回答No.3

noname#101087

２. の進展を期して。

>２. 交流電源にR,L.Cを直列接続した回路(R=4[Ω]、L=1[H]、C=C[F])においいて、電源電圧の角周波数がω=2[rad/s]のとき、電流Iが最大になり、その大きさ(絶対値)は5[A]であった。
>(1)キャパシタの容量Cを求めよ。

「R,L,Cを直列接続した回路」のインピーダンス = R + j*{ωL-(1/ωC)} がスタートポイント。
・電流Iが最大になるのは、明らかに {ωL-(1/ωC)} = 0 のとき。
・これから電源電圧[V]がわかりますね。(あとで必要？)

>(2)電源電圧の角周波数を変化させたところ、異なる二つの角周波数ω1とω2で電流Iが4[A]となった。ω1とω2を求めよ。

・電流Iが4[A]となるための {ωL-(1/ωC)} がいくつなのか、を勘定できますね。
　{ωL-(1/ωC)} = ±X (X > 0)の形になるので、「二つの角周波数ω1とω2」になる。

補足

ご回答ありがとうございます！
確かに｛ωL-(1/ωC))｝=0のときIが最大ですね。
これからCを出すことができました(C=0.25[F])！
ここから、このときの電源電圧E=20は導出できましたが、これをどのように(2)で使っていいかわかりません。。電源は交流なのtを用いたで時間関数で表現できるはずですが・・・・
皆さんのおかげで1-1と2-1は理解できました！本当にご回答ありがとうございます！

回答No.2

rnakamra

1-(2)
有効電力とは抵抗で消費される電力にほかなりません。(キャパシタやインダクタは電力を消費しません)
二つの抵抗に流れる電流が判るのであればそちらから計算することができます。

それぞれの抵抗に流れる電流の実効値をI1,I2とすると
有効電力P=R1*I1^2+r2*I2^2
で計算できます。

2
>Z=4+jω(1+C)
違いますよ。容量Cのキャパシタのインピーダンスは1/(jωC)です。

補足

ご回答ありがとうございます！！
キャパシタとインダクタが電力を消費しないというのははじめて知りました(汗　抵抗の消費電力だけ考えればいいというわけですね。
左上の抵抗での電流は(1/2)sin(2t+7/12π)となりこのフェーザを1とおくと、右下の抵抗での電流は(√(2)/2)sin(2t+4/3π)となりフェーザにすると-1+j,よって各抵抗の消費電力は2と-4jとなり、求める電力は2-4jとなりますが、、ここでもとの時間関数に戻せなくなってしまい、つまづきました。。あとちょっと！がんばります。。
容量Cのキャパシタのインピーダンス、、ずっと間違ったまま覚えてました。。。ご指摘ありがとうございます。