また質問です・・・

質問

分数列１／２，２／３，１／３，３／４，２／４，１／４，４／５・・・について
(１）初めから数えて第６６６項目にある分数は何か
(２）初項から第６６６項までの和を求めよ

この２問なのですが、(１)は２／３９という答えを求めてみました。非常に自信が無いです。計算の結果、第３８群で２７番目の分数だと思ったのです。

簡単な事を聞いていて、恥ずかしいですが教えて下さい。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

ti-zuさん、＃２です。

＞n(n-1)/2<666≦n(n+1)/2
n(n-1)<666≦n(n+1)
この部分なのですが、なぜ右側には等号がつくのですか？それと、最後の変形で６６６は２倍しなくてもよいのでしょうか？

２倍し忘れていましたね！！申し訳ないです。
n(n-1)<666*2≦n(n+1)
でした。
計算では、そのとおりにしてあるのですが、タイプミスでした。
その下の
３５・３６＜１３３２≦３６・３７
も６６６でなく、１３３２ですね。ごめんなさい。

さて、何故右側だけイコールが入っているかというと、
群に分けていますよね？
その第ｎ群に含まれるとすると、第ｎ群には、ｎ個の分数があります。
その一つ前の群には(n-1)個の分数があります。

今、第６６６項目は、群数列の第ｎ群に含まれると仮定しましたので、
(n-1)群よりも大きくなるはずです。
ｎ群の最大の個数よりは大きくありません。
ですから、
n(n-1)<666*2≦n(n+1)
という不等式が成り立ちます。

これさえ分かれば、解けたも同然ですから頑張ってください。
３６・３７＝１３３２＝６６６×２
です。補足してくださって、ありがとう。

回答No.4

eatern27

#1です。
fushigichanさんも答えていらっしゃるようですが、補足に関して。

第(nー1)群の最後の項は1+2+3+・・・+(n-1)=第{(n-1)n/2}項
第ｎ群の最後の項は1+2+3+・・・+n=第{n(n+1)/2}項

であるから、
(n-1)n/2＜666＜n(n+1)/2であれば、第666項は第ｎ群にあります。
次に等号が成り立つかどうかを考えてみす。
もし、666が(n-1)n/2と等しい場合は第(n-1)群に含まれます。だから、第666項が第ｎ群にあるためには666≠(n-1)n/2となります。。
もし、666がn(n+1)/2と等しい場合は第n群に含まれます。だから、666＝n(n+1)/2となる場合も第666項が第ｎ群にあるという事になります。
だから、
(n-1)n/2＜666≦n(n+1)/2
という不等式になります。

第666項が第ｎ群の最初の項以上である事を考えれば
(n-1)n/2+1≦666≦n(n+1)/2
としても、解けますが、"+1"が入る分、計算が面倒になります。

どうでもいい事ですが、
＞ｎ(ｎ－１)＜１４３２≦ｎ(ｎ＋１)としていました。
とありますが、このまま計算すると、
第３８群の１３番目の分数で、26/39となります。
ti-zuさんは第３８群で２７番目の分数で、１２／３９と求めたようなので、他にも計算間違いしているようですよ。
どこで間違えたのか確認しておくと今後のためになるかもしれません。

回答No.2

fushigichan

ti-zuさん、こんにちは。
とても難しい問題ですね。

＞分数列１／２，２／３，１／３，３／４，２／４，１／４，４／５・・・について
(１）初めから数えて第６６６項目にある分数は何か

まず、この分数列を、群に区切って考えてみましょう。
分母が同じものを、同じ群だと考えてみると、
1/2|2/3,1/3|3/4,2/4,1/4|4/5,3/5,2/5,1/5|・・・
↑
このように、分母が同じもの同士で区切ってみます。
すると、第１群は、1/2だけで、個数は１個
第２群は、2/3,1/3の個数が２個
第３群は、3/4,2/4,1/4の個数が３個という群になっています。

つまり第ｎ群の個数は、ｎ個ということがいえます。
また、第ｎ群のｍ番目は
(n+1-m)/(n+1)
という分数で表されます。

さて、この分数列の第６６６項は、上で区切った郡の
第ｎ群に含まれるとすると、
1+2+3+・・・+(n-1)<666≦1+2+3+・・+(n-1)+n

となることは、いいでしょうか。
この式を簡単にすれば、
n(n-1)/2<666≦n(n+1)/2
n(n-1)<666≦n(n+1)
ｎに適当な数字を入れてみましょう。
n=36のとき、
３６・３５＜６６６≦３６・３７
なので、n=36
このとき、３６・３７＝６６６なので、第６６６項目は
群数列の第３６群の３６番目であることがいえます。

第３６群の分母は、３７なので、その３６番目は
1/37
となります。

＞(２）初項から第６６６項までの和を求めよ

第ｎ群のみの和を考えてみましょう。
n/(n+1) +(n-1)/(n+1) +・・・+2/(n+1)+1/(n+1)
=1/(n+1){n+(n-1)+・・・+2+1}
=1/(n+1)*n(n+1)/2
=n/2
となるので、第n群のみの和は、n/2となります。

今、求める第６６６項目は、第３６群のラストの分数なので
求める総和は、
Σ(k=1,36)k/2=36*37/4=333

となるので、総和は３３３となることが分かると思います。
とてもややこしいと思いますが頑張ってください。

補足

すみません、質問してもよろしいでしょうか。
＞1+2+3+・・・+(n-1)<666≦1+2+3+・・+(n-1)+n
となることは、いいでしょうか。
この式を簡単にすれば、
n(n-1)/2<666≦n(n+1)/2
n(n-1)<666≦n(n+1)
この部分なのですが、なぜ右側には等号がつくのですか？それと、最後の変形で６６６は２倍しなくてもよいのでしょうか？ココが私が間違えている所なので、解説して頂きたいです。お願いします。

回答No.1

eatern27

第38群で27番目の分数は12/39だと思うのですが・・・。

(1)
第36群の36番目の分数で、1/37だと思います。
ti-zuさんはどうやって第３８群で２７番目の分数という答えに至ったのでしょうか?

(2)
第ｍ群の和はｍ/2だから、
第1群から第36群の和は333
答えは333

お礼

ｅａｔｅｒｎさんにはいつも解答して頂いている様な気がします。今回も簡単な問題だったかもしれませんが、考えてくださってございました。

補足

計算間違いのようです。ｎ(ｎ－１)＜１４３２≦ｎ(ｎ＋１)としていました。