"平面"におけるグリーンの定理の証明

質問

"平面"におけるグリーンの定理
平面領域Ｄとその境界∂ＤにてＰ(x,y),Ｑ(x,y),∂P/∂y,∂Q/∂xが連続ならば
∫[∂D](Pdx+Qdy)＝∬[D](∂Q/∂xー∂P/∂y)dxdyが成り立つ。

以上を、ガウスの発散定理を用いて証明することにトライしてみましたが旨くゆきません。

証明
∬[D]divQ dD＝∬[D](∂Q/∂x＋∂Q/∂y)dxdy＝∫[∂D](Qdy＋Qdx)--(1)
∬[D]divP dD＝∬[D](∂P/∂x＋∂P/∂y)dxdy＝∫[∂D](Pdy＋Pdx)--(2)
(1)第2辺－(2)第2辺＝∬[D]｛∂(Q－P)/∂x＋∂(Q－P)/∂y}dxdy＝∬[D](∂Q/∂xー∂P/∂y)dxdy＝命題の右辺--(3)
(1)第3辺－(2)第3辺＝∫[∂D]｛(Q－P)dy＋(Q－P)dx}-----(4)
(4)が命題の左辺に等しくなるにはどうすればよいのでしょうか。。

回答No.1

de_Raemon · ベストアンサー

PとQはスカラーですよね？
だとしたら(1)(2)式のdivQやdivPは無意味だと思います。

x成分がP(x,y)、y成分がQ(x,y)、z成分が0のベクトルA=(P,Q,0)を導入してストークスの定理
を使うと簡単に証明できますが、あえてガウスの定理を使わないとだめなんでしょうか？

ガウスの定理を用いるならxy平面上の領域Dを底面としてz方向の長さ1の柱状領域で、
ベクトルB=(Q,-P,0)を導入して(前述のA=(P,Q,0)とは成分の取り方が違うので要注意）
ガウスの定理を適用すればよいかと思います。

お礼

理解いたしましたので、時を待たず御礼がてら報告いたします。P,Qについてはご指摘の通りです。P,Qはスカラーです。
そこで、より一般的な表記をしている、工科の数学を見直すと、まんまストークスから"平面"におけるグリーンの定理
の証明が記載されておりました。
ストークスの定理【【*】印部分は他の閲覧者のために、私にて加筆しました。】
　Ａ＝Ｐi＋Ｑj＋Ｒk（【*】i, j, k はそれぞれx,y,z各方向の単位ベクトル)
【*】rotＡ＝|___ i___________j ___________k _ |
______________|∂/∂x__∂/∂y__∂/∂z|
______________|_Ｐ__________Ｑ _____________Ｒ_|
【*】ｔ＝dｒ/dｓ・・・接線方向単位ベクトル、【*】ｔds＝dｒ＝(dx,dy,dz)

∫[∂S]Ａ・ｔdｓ＝∬[S](rotＡ)・ｎdS・・・ストークスの定理

ここで、Ａ＝Ｐ(x,y) ｉ＋Ｑ(x,y) ｊとし、x y平面の領域D, ｎ＝ｋである場合に適用。
rotＡ＝(∂Ｑ/∂x－∂Ｐ/∂y)k
ゆえにストークス左辺＝∫[∂D](Ｐdx＋Ｑdy)、ストークス右辺＝∬[D](∂Ｑ/∂x－∂Ｐ/∂y)dxdy
∫[∂D](Ｐdx＋Ｑdy)＝∬[D](∂Ｑ/∂x－∂Ｐ/∂y)dxdy・・・平面におけるグリーンの定理【証明完了】
結局、最初の試みは徒労に終わりましたが、お蔭様で基本事項からの再確認ができました。有難うございました。
なお、お気づきやもしれませんが、別途質問の用意がありますのでその説はまた宜しくお願い致します。

補足

ご回答賜り有難うございます。OKWave初心者です。学生ではありません。質問のきっかけは、あちらの方で
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1428151179

回答者としてかかわった事に由ります。従いまして、あくまで数学上の純粋な遊び心です。それ故、尚更このアプローチにこだわる次第です。（上記URL内の参照先は回答者なしにより、自動消滅いたしましたが、当該質問と同じ内容です。）
参考文献：倍風館_ベクトル解析_安達忠次 ＆ 倍風館_工科の数学_ベクトル解析-演習編ではない方§6
1)この場合Ｐ、Ｑは経路の主法線方向ベクトルと理解しています。明確な記述を眼にしたわけではありませんが。
2)ときわ台学-ベクトル解析-グリーンの定理<http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/090vct.html>は、あらかじめ目を通しています。非常にわかりやすいですが、自分としては
　A＝［φ(x,y),－ψ(x,y), 0］　に違和感を覚えます。
安達のべ解中のガウス発散定理のアプローチにこだわるのです。一歩一歩踏みしめるような手法ですので。
定理 ∫[V]divＡdv＝∫[S]Ａ・ｎdS ｛ ベクトル界Ａ、閉局面S、S内領域V ｝
証明 ∫∬[V](∂Ax/∂x＋∂Ay/∂y＋∂Az/∂z)dxdydz＝∬[s](Axdydz＋Aydzdx＋Azdxdy) ・・・・Aの後ろの x,y,zは添え字
以降省略
ここまで来て、1)が危うくなってきました。久しぶりに数学にちょっかいだして、拾い読みと記憶で着手してしまっています。方向成分をもたないものに発散もなにもないですね。ちょっとお時間ください。見直します。スカラーかもしれないです。補足の補足の仕方がわかりませんが。明日午後にでも、つついて戴ければ助かります。