グリーンの定理で楕円の面積を求める方法

質問

識者の皆様宜しくお願い致します。

Q. グリーンの定理を用いて、楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1で囲まれた部分の面積を求めよ。

という問題なのですがグリーンの定理を調べて見ると

『P(x,y),Q(x,y)が有界閉領域DでC1級の関数の時、
∫(∂D,P(x,y)dx+Q(x,y)dy)=∫∫(D,∂Q(x,y)/∂x-∂P(x,y)/∂y)dxdy
(∂Dは領域Dの内部が進行方向の左手になるように、向きをつけたもの)』

と載ってましたが
P(x,y)とQ(x,y)の2つの関数を使用するんですよね。
P(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2-1
と置けばいいんですかね。この場合、Q(x,y)なる関数は見当たらないのでQ(x,y)=0とすればいいのでしょうか?

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

>『P(x,y),Q(x,y)が有界閉領域DでC1級の関数の時、
>∫(∂D,P(x,y)dx+Q(x,y)dy)=∫∫(D,∂Q(x,y)/∂x-∂P(x,y)/∂y)dxdy
>(∂Dは領域Dの内部が進行方向の左手になるように、向きをつけたもの)』
>とは別の定理なのでしょうか?

#2さんへのお礼のリンクだと「ページが見つかりません」って言われるんですが、とにかく#2さんの２つめのリンク先の一番下のやつの話ですよね？

別の定理といえば別の定理なのかもしれませんが、これはご質問にある「グリーンの定理」の特別な場合で、
Q(x,y)=x/2
P(x,y)=-y/2
として、∂D＝Ｃをパラメータtで表示したものに相当します。

お礼

遅くなりましてすいません。
お蔭様で参考になりました。

回答No.2

masuda_takao

とりあえず、以下の２つをご参照ください。

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/090vct.html
http://www.junko-k.com/collo/collo176.htm

お礼

有り難うございます。
http://www.junko-k.com/collo/collo176.htm​
の説明で解けましたが
『P(x,y),Q(x,y)が有界閉領域DでC1級の関数の時、
∫(∂D,P(x,y)dx+Q(x,y)dy)=∫∫(D,∂Q(x,y)/∂x-∂P(x,y)/∂y)dxdy
(∂Dは領域Dの内部が進行方向の左手になるように、向きをつけたもの)』
とは別の定理なのでしょうか?
名称も"ガウス・グリーンの定理"となっているし。。。

回答No.1

eatern27

>P(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2-1
>と置けばいいんですかね。この場合、Q(x,y)なる関数は見当たらないのでQ(x,y)=0とすればいいのでしょうか?
そのようにして選んだP,Qから、楕円の面積はどうやって出てくるんですか？
何とかして出てくるのなら、それでもいいですが、少なくとも私には思いつきません。

闇雲にPやQを選んでも、楕円の面積が出てくるはずがありませんよね。
とりあえず、「(xy平面上の有界な)領域Ｄの面積」というものが、(重積分を用いて)どのように定義されている(表わされる)のかはご存知ですか？

お礼

遅くなりましてすいません。
お蔭様で参考になりました。